摘要：隨著課程標準的不斷改革、教材內容的不斷更新以及教育實踐的不斷發展,中學數學教材增添了許多高等數學的內容,與此同時致使中學數學教師認識到,高等數學于中學數學的密切聯系。本文在前人研究的基礎上，結合自己的學習和教學實踐，闡明了從高等數學的視角研究中學數學中集合內容的必要性。并論述了集合思想在中學的滲透，為中學教師的教學提供一些建議。

　　關鍵詞：高等數學，中學數學，集合，運算

　　1引言

　　隨著課程標準的不斷改革、教材內容的不斷更新以及教育實踐的不斷發展，中學數學教材增添了許多高等數學的內容，與此同時致使中學數學教師認識到，高等數學于中學數學的密切聯系。然而,一些問題也隨之產生，如：部分中學數學教師淡忘了高等數學的知識，或是所學的高等數學知識與中學數學互相脫離,再或是缺乏運用高等數學知識的觀點處理中學數學問題的意識，利用高等數學的視角統領全局的能力亟待提高等問題。

　　集合作為數學中最基本的概念之一,其教學內容雖編排在高中必修1,但集合思想卻在小學階段認數時就已經有所接觸,在三年級上冊數學廣角中更是編排了集合的交集、Venn圖等相關內容,并一直伴隨到初中、高中直至大學.而大學數學作為中學階段數學知識、數學方法、數學思維的延伸和拓廣,是高等院校學生進一步學習后繼課程的重要保障和知識儲備.特別是集合在大學數學與中學數學中起到了很好的銜接作用。

　　2集合理論在中學數學中的應用

　　集合是中學階段(高中)學習的第一個數學對象，也是大學階段基礎數學課程中的第一個數學對象，在數學中占據著及其重要的地位。雖然，在普通高中課程標準實驗教課書數學1中，集合的內容較少且簡單，但集合不僅是數學1中函數的定義域和值域學習的基礎，也是數學5中表達不等式的解集的基礎，也是數學選修2-1中圓錐曲線中正確表達橢圓、雙曲線、拋物線的基礎等等。集合的學習不僅可以為后續學習其它內容奠定基礎,還可以借助集合的理論知識解決數學問題。

　　在二十世紀初,我國尚在使用子、丑、寅、卯和甲、乙、丙、丁等中國自己的符號語言。1911年(辛亥革命)后，數學符號就與國際通用的一致，五四運動以后，白話文的使用,使得我國的數學語言與國際上的基本一致。二十世紀數學發展的一個重要標志就是康托集合語言的普遍采用，在我國的統編教材可以發現,同樣也采用了集合語言。集合語言是日常語言的濃縮,是簡單邏輯關系的符號表示。在中學數學課程中,一般從“數”與“形”兩個角度描述數學對象，用集合語言描述具有“數集”意義的數學對象有:函數的定義域和值域、方程(組)、不等式(組)的解集的解集等;用集合語言描述具有“圖形”意義的數學對象有:點的軌跡、圓、橢圓、雙曲線、拋物線、可行域等等。

　　3集合思想在中學數學中的滲透

　　通過對集合理論在中學數學中的應用的研究發現，中學數學所研究的對象在某種程度上都可以歸結為集合，而集合思想也貫穿了整個中學數學內容，可以說集合思想在中學數學思想占據著舉足輕重的地位。特別是，數系的擴充是集合思想在中學數學中的典型體現。

　　關于集合的研究必定離不開對數的研究。對于學習過數學的人，或多或少的都會以為對數是了解的。但若深究一下，許多問題又變得模糊。例如;為什么1+2=3?數的加法、乘法是怎樣規定的?數系是怎樣擴充的?等問題。這些問題對于一般的人來說，似乎無足輕重，但對于中學數學教師來說，卻至關重要，是一定要弄明白的。要研究數的系統，則要從認識自然數開始。自然數是人類發明使用最早的數，自人類有文化開始，自然數便被創造出，并與人類生活息息相關。人們甚至還對自然數進行運算，使用一些不加證明的算律。但到十八世紀，人們一直把自然數當做最基本的概念在使用，并沒有人認識到自然數該如何定義。直到1889年，在數學公理化思想的影響下，意大利數學家和哲學家皮亞諾(G.Peano,1858-1932)第一個在理論上提出了自然數公理系統。他雖然把自然數作為不加定義的概念,但他為自然數設立了一套公理。即把“自然數集”和“0”作為兩個不加定義的原始概念以及五條公理來定義自然數系統。

　　自然數系是代數學的基礎.它是構造整數系、有理數系和實數系的起點。在中小學的數學中，數系的學習可以說是貫穿始終。從小學一年級學習正整數開始，到高中學習復數，數系的學習始終貫穿在整個數學課程中。由于數系中所包含的知識大多是超經驗的或難以證明的，以及學生接受能力的限制。因此，在中小學的數系教學中，對數系的擴展不能全盤形式化、公理化的處理.故而不可避免“不嚴謹”、“模糊”的現象發生，但數系的擴張的學習是學生思維能力得到提升的一個重要內容。例如：自然數的無限性，分數是一對整數之比的形式,正負數相加的本質是“抵消”,無理數、復數的存在性等等，都是人類智慧的成果。雖然在中小學教學中，部分學生很難厘清之間的來龍去脈及緣由，但可以強調它的文化意義及價值所在,特別是對于一些的優秀的學生,適當的強調和滲透是極有必要的，以便提高學生的理性思維能力。

　　數學思想是數學地分析問題和處理問題的方法論,它是數學學科的“靈魂”,是數學學科建立和發展的重要因素.而高等數學中的集合蘊藏了豐富的數學思想，如:并集思想、交集思想、補集思想等.在中學數學教學中,若能靈活的將集合思想融入,學生不僅可以學會數學地看待問題,還能理性地處理問題。

　　4對新課程改革的個人認知

　　新課程改革后，中學數學教材內容的更新,使得高等數學與中學數學有了更緊密的聯系。開展高等數學視角下的中學數學研究,并不是要求中學數學教師要教學生用高等數學的知識或方法去思考、解決中學數學問題，而是倡導教師，很有必要掌握用高等數學的知識和方法研究中學數學教材和問題，領會高等數學中所蘊含的思想。這樣做，對中學數學的內容得到更全面的、更系統的認識。

　　就集合而言，在中學數學課程標準中，雖然對基數、冪集、代數體系、數系的擴張等內容沒有作要求,但在中學數學教材中會涉及到此類內容。在數學教學過程中，不僅要傳授給學生教材中的基本知識，更要將知識中蘊含的思想方法傳授給學生。以本研究為例，集合的發展史、數系的擴充、集合理論的應用，對提高學生的學習興趣，數學思維的培養都有極大的幫助。最后，教師要積極主動的探索中學數學知識與高等數學知識間的理論聯系。這才會對中學數學的教學內容、教學設計和教學實施更有把握。因此，提倡中學數學教師要以知識重構為切入點,重溫高等數學等數學專業知識。常學、常用，以理論支撐實際，用實踐完善理論。

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　　5總結

　　高等數學中的集合內容是中學數學中集合內容的延伸和拓展，也是中學數學階段到大學數學階段的橋梁。在中學集合的教學中，不能只圍繞集合的基本概念和基本運算，由集合衍生出來的概念、集合語言和集合理論的應用也同樣影響著學生對集合的學習。教師在注重基本概念教學的同時更要注意學生對集合思想的領悟，以培養學生的數學思維,提高學生的應用能力。

　　參考文獻

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　　作者：秦建勇