[摘要]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅只是學(xué)習(xí)教材上所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí),而且要通過(guò)教材提供的素材進(jìn)行聯(lián)想和加工,將已學(xué)的知識(shí)納入新的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中,運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)與新知識(shí)之間的聯(lián)系來(lái)解決新的問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)重要的內(nèi)容是通過(guò)一定的經(jīng)驗(yàn)積累形成一定的數(shù)學(xué)模型,來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維價(jià)值。“鴿巢問(wèn)題”又可以稱之為鴿巢原理、抽屜原理，或者可以稱之為狄利克雷原理。鴿巢問(wèn)題在數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際生活中占有重要的作用，許多問(wèn)題和現(xiàn)象都可以利用鴿巢原理進(jìn)行解決。

　　[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)模型;理性思維;邏輯思維;歸納推理

　　通過(guò)鴿巢問(wèn)題的學(xué)習(xí)，引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的邏輯思維能力，培養(yǎng)理性思維意識(shí)，是當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要方向。當(dāng)下利用鴿巢問(wèn)題培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具體過(guò)程為：1.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題或者現(xiàn)象的猜測(cè)、驗(yàn)證、觀察、分析，初步了解“鴿巢問(wèn)題”，會(huì)用鴿巢原理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，滲透“建模”思想。2.幫助學(xué)生建立從具體到抽象的分析過(guò)程，提高學(xué)生獨(dú)立思考和推理的能力。3.通過(guò)鴿巢原理模型構(gòu)建，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

　　一、讀懂教材插圖，挖掘發(fā)展學(xué)生思維契機(jī)

　　對(duì)于剛接觸鴿巢問(wèn)題的學(xué)生來(lái)說(shuō)，直接給出鴿巢原理，學(xué)生是很難理解該原理的實(shí)際含義，如“總有一個(gè)筒至少放進(jìn)2支筆”這句話對(duì)于學(xué)生而言，不僅說(shuō)起來(lái)生澀拗口，而且抽象難以理解，這樣無(wú)法達(dá)到構(gòu)建學(xué)生相應(yīng)理性思維的目的。在最新的人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本中，為了方便學(xué)生對(duì)于鴿巢問(wèn)題的學(xué)習(xí)和掌握，配備了大量的插圖，教師可以利用這些教材插圖在具體的教學(xué)過(guò)程中，先將抽象問(wèn)題直觀化，用具體、明確的插圖實(shí)例對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)。

　　如教材上的圖例所示，教師按照?qǐng)D上的語(yǔ)言描述和學(xué)生一起做“變魔術(shù)”游戲，即：將一副牌中取出大、小王，讓學(xué)生隨意從余下的牌中抽5張，觀察牌的花色情況，然后教師不進(jìn)行觀看，直接對(duì)學(xué)生說(shuō)“至少有2張牌是同花色的”。還可以按照后續(xù)的圖例帶領(lǐng)同學(xué)們做一個(gè)“放鉛筆”游戲。其游戲具體的規(guī)則為：準(zhǔn)備4只鋼筆和3個(gè)筆筒，讓同學(xué)們依次完成放鉛筆的活動(dòng)，但是后面的同學(xué)不能和前面的同學(xué)放的樣式相同，讓一個(gè)學(xué)生進(jìn)行記錄，整個(gè)過(guò)程教師不進(jìn)行觀看，直接對(duì)學(xué)生說(shuō)“總有一個(gè)筆筒至少放進(jìn)2支鉛筆”。

　　隨后，教師對(duì)游戲的結(jié)果提出問(wèn)題：1.這句話里“至少”是什么意思?2.“至少有2張牌是同花色的”或者“總有一個(gè)筆筒至少放進(jìn)2支筆”是什么意思?3.教師為什么不進(jìn)行觀看就可以得出結(jié)論?在此教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)學(xué)生親身經(jīng)歷的事物結(jié)合實(shí)際圖畫教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積極投入到后面問(wèn)題的研究中。并通過(guò)“總有”“至少”等詞匯，讓學(xué)生初步經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的過(guò)程，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力和理性思維分析能力。

　　二、利用教材編排意圖，設(shè)計(jì)發(fā)展學(xué)生思維活動(dòng)

　　數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)重要的內(nèi)容是通過(guò)一定的經(jīng)驗(yàn)積累形成一定的數(shù)學(xué)模型。在當(dāng)下，數(shù)學(xué)模型最早歷史可以追溯到古代人們對(duì)于數(shù)字的使用，并隨之而來(lái)建立的各種數(shù)學(xué)模型。美國(guó)教育學(xué)家戴爾認(rèn)為：在經(jīng)驗(yàn)之塔中，越靠近底層，其表述的事物越具體，反之越趨抽象。在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教育過(guò)程中，應(yīng)該從經(jīng)驗(yàn)之塔最初的底層開(kāi)始，逐步進(jìn)行抽象化。在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中教師不能僅止步于具體經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，而是要通過(guò)收集、分析這些具體經(jīng)驗(yàn)后，形成抽象和普遍發(fā)展的概念。

　　所以，在進(jìn)行實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，要有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，并使學(xué)生獲取理性的分析，形成一定的理性思維。在人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材中的圖例是按照一定的數(shù)學(xué)邏輯思維進(jìn)行設(shè)計(jì)的。如在上述游戲中，我們將4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，無(wú)論如何放置鉛筆，總會(huì)有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆;教師將分析的過(guò)程按照教材編排意圖一一對(duì)學(xué)生進(jìn)行演示。同時(shí)，在演示結(jié)束后可以對(duì)游戲進(jìn)行進(jìn)一步擴(kuò)展，如果把5支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒，總有一個(gè)筆筒至少放多少支鉛筆?如果把8支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒，總有一個(gè)筆筒至少放多少只支筆?通對(duì)這些基礎(chǔ)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：4÷3=1……15÷3=1……28÷3=2……2教師帶領(lǐng)學(xué)生引出規(guī)律：至少數(shù)=商+1。

　　教師通過(guò)對(duì)規(guī)律的循序講解，在初次發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，從“至少2支”得到“至少商+余數(shù)”個(gè)，再到得到“商+1”的結(jié)論。逐步構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)，深化了學(xué)生理性思維構(gòu)建。

　　三、巧用教材習(xí)題設(shè)計(jì)，開(kāi)拓發(fā)展學(xué)生思維路徑

　　對(duì)于小學(xué)生在思維路程的演練與形成中，由于自身的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備不足，對(duì)于剛剛形成的數(shù)學(xué)模型還不能熟練運(yùn)用。為了進(jìn)一步開(kāi)拓發(fā)展學(xué)生思維，可以通過(guò)將上述構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型結(jié)合教材習(xí)題，進(jìn)行進(jìn)一步訓(xùn)練。如：從“至少2支”得到“至少商+余數(shù)”個(gè)，再到得到“至少數(shù)=商+1”的結(jié)論，既是構(gòu)建模型的過(guò)程，也是運(yùn)用模型的過(guò)程。

　　由于鴿巢問(wèn)題在實(shí)際生活中的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，可以利用鴿巢原理解決實(shí)際生活中許多有趣的問(wèn)題，在進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題解決時(shí)，我們就不用按照前面求解的過(guò)程，進(jìn)行重復(fù)性工作。只需要學(xué)生通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，抽象出具體的鴿巢原理模型——“至少數(shù)=商+1”，即可以運(yùn)用該模型熟練地解決一些實(shí)際問(wèn)題。

　　例如，小明總共有5只鋼筆，他想將這5只鋼筆放入4個(gè)鋼筆盒中，請(qǐng)問(wèn)這4個(gè)鋼筆盒中總有一個(gè)至少要放入幾個(gè)?按照我們前面構(gòu)建的鴿巢原理模型：至少數(shù)=商+1因?yàn)橛?只鋼筆、4個(gè)鋼筆盒，所以5÷4=1……1，至少數(shù)=1+1=2。得出：4個(gè)鋼筆盒中總有一個(gè)至少要放入2個(gè)。利用該鴿巢原理模型既可以很快地解決問(wèn)題，又使得學(xué)生的抽象能力和理性分析能力得到提升。

　　四、利用教材彈性內(nèi)容，深挖發(fā)展學(xué)生思維方向

　　小學(xué)階段是學(xué)生學(xué)習(xí)的黃金時(shí)期，建立并提高小學(xué)生的思維能力也是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。鴿巢問(wèn)題在當(dāng)下生活中經(jīng)常遇到，通過(guò)實(shí)際的問(wèn)題構(gòu)建出鴿巢原理——“至少數(shù)=商+1”，不但能夠使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行問(wèn)題分析、探究，還能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和歸納推理能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終目的是用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，所以在進(jìn)行學(xué)生的思維訓(xùn)練時(shí)，不能僅局限在書本的例題或者習(xí)題中，應(yīng)該合理地利用教材彈性內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生思維方向，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生理性思維的高效培養(yǎng)。

　　1.教材分析

　　首先，教師應(yīng)該針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中《鴿巢問(wèn)題》相關(guān)的教材內(nèi)容進(jìn)行分析。教材內(nèi)容具有顯著的遞進(jìn)關(guān)系，主要幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)的“抽屜原理”，并且對(duì)“至少”、“總有”這兩個(gè)關(guān)鍵詞給予正確認(rèn)識(shí)，進(jìn)而獲得假設(shè)、枚舉這類理性的數(shù)學(xué)思維方法，再對(duì)基本概念的抽象化進(jìn)行解讀，使“抽屜問(wèn)題”更加一般化，從而使學(xué)生掌握利用“抽屜問(wèn)題”解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的思路和技能，使學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力得到進(jìn)一步提升。

　　分析教材內(nèi)容可知，理性思維教學(xué)應(yīng)該重點(diǎn)突出以下幾個(gè)方面：

　　其一，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該充分揭示課題，使學(xué)生對(duì)“鴿巢問(wèn)題”有正確認(rèn)知。這一階段應(yīng)該充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)習(xí)慣，并且從拓展知識(shí)內(nèi)容、豐富學(xué)生視野的角度出發(fā)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣給予有效激發(fā)。為此，課上應(yīng)先用多媒體設(shè)備對(duì)鴿子的圖片進(jìn)行演示，并且詢問(wèn)學(xué)生看到圖片后的聯(lián)想。在談話引入的方法下，學(xué)生逐漸進(jìn)入“鴿巢問(wèn)題”這一主題。

　　其二，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該對(duì)列舉和枚舉的數(shù)學(xué)思維方法及其選擇應(yīng)用進(jìn)行充分體現(xiàn)。在實(shí)際教學(xué)中，通過(guò)一個(gè)實(shí)際例題引導(dǎo)學(xué)生自主探究：如果要把4個(gè)籃球放在3個(gè)筐里，一共有多少種方法。課上采用小組合作探究的方式，先以小組為單位給出答案，然后全班一起討論是否有更多的可能性。在所有可能都被列舉的情況下，就被稱為枚舉。

　　其三，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“至少”和“總有”這兩個(gè)概念進(jìn)行區(qū)分。在課上舉出實(shí)例，要求學(xué)生在完成上述例題時(shí)做到“總有1個(gè)筐里至少放進(jìn)2個(gè)籃球”，然后學(xué)生對(duì)枚舉出的方案進(jìn)行觀察和分析，并且進(jìn)行記錄對(duì)比。在實(shí)踐操作的過(guò)程中，使學(xué)生理解這兩個(gè)概念的涵義和不同。

　　其四，在課程教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)思維方法進(jìn)行滲透，幫助學(xué)生增強(qiáng)邏輯思維能力和抽象思維能力。在課上，由教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)例題實(shí)踐演練，在具象思維的基礎(chǔ)上進(jìn)行枚舉，并作出簡(jiǎn)單的假設(shè)和推理，然后以多媒體課件的形式進(jìn)行邏輯推理，驗(yàn)證學(xué)生的一些假設(shè)，將具象思維轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笏季S，使特殊事物轉(zhuǎn)變?yōu)橐话闶挛铮�提升學(xué)生的概括歸納能力，并且探究總結(jié)背后蘊(yùn)含的規(guī)律，構(gòu)建出解決問(wèn)題的思維模型。

　　其五，將課堂教學(xué)與實(shí)際生活相聯(lián)系，幫助學(xué)生掌握理論知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用能力。為此，教師安排課后的學(xué)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的待分物體，并且用“列舉和枚舉”“總有和至少”的知識(shí)進(jìn)行實(shí)踐操作，從而使學(xué)生的自主思維及實(shí)踐能力得到提升。

　　2.教學(xué)目標(biāo)

　　為保障教學(xué)質(zhì)量，教師必須制定科學(xué)明確的教學(xué)目標(biāo)，并且對(duì)教學(xué)中的重點(diǎn)部分和難點(diǎn)部分給予明確。就教學(xué)目標(biāo)來(lái)看，主要包括以下幾個(gè)方面：

　　其一，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“鴿巢問(wèn)題”進(jìn)行自主探究，并且對(duì)“抽屜原理”給予初步明確，同時(shí)能夠利用這一原理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。其二，引導(dǎo)學(xué)生探究“鴿巢問(wèn)題”背后的規(guī)律，并且能夠做出簡(jiǎn)單的假設(shè)、推理和分析，構(gòu)建出數(shù)學(xué)思維模型。

　　其三，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。其中教學(xué)的重點(diǎn)目標(biāo)在于引導(dǎo)學(xué)生自主探究“鴿巢問(wèn)題”，并掌握“抽屜原理”的基本規(guī)律及應(yīng)用能力。教學(xué)的難點(diǎn)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，能夠?qū)⒑?jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題邏輯化和模型化。

　　3.教學(xué)設(shè)計(jì)

　　在對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，教師必須以教學(xué)目標(biāo)作為根據(jù)和指導(dǎo)，并且對(duì)教學(xué)重點(diǎn)給予突出展示，對(duì)教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行關(guān)鍵性突破，從而使學(xué)生的自主探究興趣得到切實(shí)激發(fā)，能夠以理性的數(shù)學(xué)思維模式解決實(shí)際問(wèn)題。具體來(lái)看，教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)主要包括以下幾方面內(nèi)容：其一，通過(guò)談話引入課題。

　　在課上，教師先用多媒體設(shè)備播放鴿子及巢穴的圖片，激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想能力。一些學(xué)生聯(lián)想到“飛鴿傳書”，一些同學(xué)聯(lián)想到“世界和平”，還有一些同學(xué)提出“鴿巢問(wèn)題”，教師聯(lián)系實(shí)際生活順勢(shì)提出問(wèn)題：“如果有3個(gè)籠子，4只鴿子飛入這3個(gè)籠子會(huì)出現(xiàn)幾種情況”，然后讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論。

　　其二，通過(guò)實(shí)踐操作加深理解。為了使學(xué)生的思維更加具象化，教師引導(dǎo)學(xué)生用課前準(zhǔn)備好的籃球和球筐進(jìn)行演練，并且提出幾個(gè)具體的研究課題，分別是“將4個(gè)籃球放到3個(gè)球筐里總共出現(xiàn)的情況”“將5個(gè)籃球放到4個(gè)球筐里總共出現(xiàn)的情況”“將6個(gè)籃球放到5個(gè)球筐里總共出現(xiàn)的情況”。

　　探究過(guò)程采取小組合作的方式，每個(gè)小組將實(shí)踐的結(jié)果列舉在卡片上，最后枚舉出所有的可能性，然后在全班范圍內(nèi)進(jìn)行補(bǔ)充交流，保證枚舉結(jié)果的完整性。在此基礎(chǔ)上，對(duì)三種結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)無(wú)論采用何種方式，每個(gè)問(wèn)題都會(huì)出現(xiàn)“總有1個(gè)球筐里至少放進(jìn)2個(gè)籃球”，因此，由特殊現(xiàn)象推理出一般現(xiàn)象，使“抽屜問(wèn)題”的原理得到明示。其三，對(duì)“抽屜原理”進(jìn)行初步應(yīng)用。

　　在自主探究的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該原理進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，并且對(duì)思維進(jìn)行拓展。例如提問(wèn)學(xué)生“上述問(wèn)題都是對(duì)物體個(gè)數(shù)大于抽屜個(gè)數(shù)1的情況進(jìn)行研究，那么現(xiàn)實(shí)中還會(huì)遇到怎樣的情況呢”，學(xué)生提出“還有大于1的情況，比如多2個(gè)、多3個(gè)等”。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“6個(gè)物體4個(gè)抽屜”“8個(gè)物體4個(gè)抽屜”“7個(gè)物體4個(gè)抽屜”“9和物體4個(gè)抽屜”的情況進(jìn)行研究，并且對(duì)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)。

　　學(xué)生在探究過(guò)程中對(duì)課上的“籃球”例題進(jìn)行模仿，將“總有”和“至少”這兩個(gè)概念帶入其中，最后教師要求學(xué)生將物體個(gè)數(shù)表示為a，將抽屜個(gè)數(shù)表示為n，根據(jù)已有的枚舉方案表示出其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)“a個(gè)物體放進(jìn)n個(gè)抽屜”，在a與n相除無(wú)余數(shù)的情況下，總有1個(gè)抽屜中會(huì)至少放進(jìn)b(商)個(gè)物體;當(dāng)有余數(shù)的情況下，總有1個(gè)抽屜會(huì)至少放進(jìn)(b+1)個(gè)物體。其四，通過(guò)知識(shí)拓展培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)。

　　在獲得規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師提問(wèn)學(xué)生“是否知道該規(guī)律的最初發(fā)現(xiàn)者”，然后通過(guò)教材和多媒體引導(dǎo)學(xué)生對(duì)狄利克雷的生平及成就進(jìn)行了解，從而拓展課外知識(shí)。另外，教師要求學(xué)生聯(lián)系自身的實(shí)際生活，對(duì)常見(jiàn)的“鴿巢問(wèn)題”進(jìn)行總結(jié)和分析，從而提升實(shí)踐能力。

　　數(shù)學(xué)思維強(qiáng)弱直接關(guān)系到一個(gè)人是否能夠?qū)⒕唧w的問(wèn)題抽象化，能否充分利用證據(jù)和邏輯來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)某事物或問(wèn)題認(rèn)知。當(dāng)前小學(xué)生是學(xué)習(xí)的黃金時(shí)期，建立并提高小學(xué)生的理性思維能力是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。鴿巢問(wèn)題在當(dāng)下生活中經(jīng)常遇到，通過(guò)實(shí)際的問(wèn)題構(gòu)建出鴿巢原理——“至少數(shù)=商+1”，不但使能夠使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行問(wèn)題分析、探究，還能夠培養(yǎng)并鍛煉學(xué)生的理性思維，有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和歸納推理能力。

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