《談小數概念課教學的有效性》論文發表期刊：《小學教學參考》；發表周期：2021年11期

《談小數概念課教學的有效性》論文作者信息：李志

　　[摘要]小數概念課教學是數學概念教學的重要部分，理解小數的概念，為學習小數的大小比較、小數的性質、小數的加減法以及解決實際問題奠定知識基礎。在教學小數概念時，教師要關注三個核心概念，滲透三種重要的數學思想方法，引導學生經歷小數認知過程中的五個不同層次。通過“三三五教學策略”，提高小數概念課教學的有效性。

　　[關鍵詞]小數概念課教學;有效性;核心;思想方法

　　小數的認識，是數學領域對于整數離散性到小數的稠密性的一次重要擴充。而小數的認識是數學概念教學的重要部分，對學生來說，學習小數是數域的一次擴充。關于小數概念的教學，人教版教材分兩個階段進行，第一階段安排在三年級下冊，第二階段安排在四年級下冊。三、四年級是學生數學學習、數學思維轉換的關鍵時期，況且，小數的概念是小數知識體系的基礎，所以提高小數概念課教學的有效性就尤為重要。在小數概念課教學中，教師要把握小數的核心概念，滲透重要的數學思想方法，提高學生的數學核心素養。

　　一、關注小數概念的三個核心，深入理解小數的含義

　　1，小數意義的理解。對于小數的概念，三年級教材是這樣定義的--像3.45 0.85.2.60、36.6樣的數叫作小數，采用描述性方式表達了什么是小數，通過舉例的方式讓學生初步感知什么是小數。三年級學生初步接觸小數，主要在具體的情境中理解小數的意義，對小數的認識更多的是建立在生活中熟悉的具體量或者直觀圖形的基礎之上的，是感性的。到了四年級，教材是這樣描述小數的：分母是10，1001000的分數可用小數來表示，采用描述的方式定義什么叫小數。盡管已經建立在具體量與直觀或半直觀模型之上的，但是四年級學生學習小數最終需要脫離具體的量與圖形，抽象概括出小數的意義，認識小數的本質，理解小數就是在不斷分的過程中產生的。因此，在設計每個階段的學習活動時，教師一定要把握教材的教學尺度與要求，不拔高、不降低標準，科學合理地安排教學內容。

　　2，小數計數單位的認識。數的認識有兩個維度，一是數的產生，二是數的組成。二者相輔相成，互相解釋驗證。任何一次數域的擴充都是來自于生產生活。小數的產生也不例外。三年級下冊教材在“小數的認識”起始課就創設了大量的生活場景，商品的重量和價格、學生的體溫、兒童的身高等大量的、學生熟悉的數學信息，讓學生感知小數產生的必要性和用小數記錄的便捷性。這是來自實物的計數，還需要向抽象出小數的本質屬性過渡，圖示便是最好的表達方式。有一位教師在“小數的認識”一課中設計了這樣一個環節：出示一張被平均分成10份的長方形紙，將其中6份涂色，問學生用哪個數表示涂色的部分。學生想到0.6，因為里面有6個0.1;教師繼續在第7份中涂了一點顏色，問“還能用0.6表示嗎?"一步步引導學生把第7份平均分成10份，進而想到把這個長方形平均分成100份，得到0.61;如果再增加一份呢?.

　　增加到0.66后接著分析兩個6是否一樣，引導學生認識第一個6表示6個0.1，第二個6表示6個0.01。這樣，學生對小數計數的產生就有比較深刻的認識了。學生經歷了小數的產生過程，很好地理解了小數的計數單位。如果學生不理解小數的計數單位，很難深入地理解小數的意義。一個小數十分位上的數字，它的計數單位是十分之一，表示幾個十分之一;百分位上的數字，它的計數單位是百分之一，表示幾個百分之一：千分位上的數字，它的計數單位是千分之一，表示幾個千分之一…比如0.35，可以看成是由35個0.01組成，也可以看成由3個0.1與5個0.01組成。小數的計算單位是小數的一個核心概念，通過數計數單位產生新的計數單位，通過分一個計數單位，也會產生一個更小的新的計數單位，讓學生感受相鄰兩個計數單位之間的進率是103·十進制計數法。整數采用的十進制計數法，在表示小數的時候同樣適用。小數是十進制分數的另一種表現形式，學生只有認識到這一點，才能夠將小數、分數與整數三者聯系起來，建立比較完整的數的體系。如何幫助學生理解小數十進制計數法呢?一位教師在教學了一位、兩位、三位小數以后，出示一個動畫課件：1個正方體，把正方體平均分成10份并將其中的1份涂色，把正方體平均分成100份取其中的1份，把正方體平均分成1000份取其中的1份。從圖中發現，自然數“1"不斷地疊加就得到了10，1001000.自然數1不斷地平均分成10份、100份1000份 就得到了0.1 0.01 0.001..過來看，

　　10個0.001就是0.01，10個0.01就是0.1，10個0.1就是1，10個1就是10最后用一句話總結，就是每相鄰兩個計數單位之間的進率是10，巧妙地讓學生理解了小數與整數一樣，也可采用十進制計數法。

　　二、滲透三種思想方法，豐富小數的學習內涵1，培養敷感。托拜厄斯·丹齊克(Tobias Danzig，

　　1967)于1954年引入了“數感”這一術語，將之描述為：在個體沒注意到的情況下，在一小堆物體中增加或者移除一個物體后，個體能夠意識到這堆物體發生了變化的能力。小數的數感是什么呢?比如說看到1.7能馬上想到量，想到1.7元，想到一個作業本的價錢，一支圓珠筆的價錢，等等;或者是能馬上想到1.7的大小，1.7在哪兩個整數之間。那么如何在小數概念課中培養學生的數感呢?

　　首先，要結合具體的量，比如用長度單位來認識小數的意義。例如認識0.35時，看到0.35馬上聯想到

　　0.35米，知道0.35米是35厘米，可從米尺上找到0.35米的長度，也可用手大概比畫出0.35米的長度，等等。其次，教師還可以在不斷地猜數字的過程中培養學生的數感，如教師寫下一個小數，提示“它比0.6大，比0.8小”，然后采用區間套逼近的方法讓學生不斷地去猜小數，用大得多、大一些、小得多、小一些等詞語幫助學生猜，培養學生的數感。

　　2，建立模型思想。數學模型是指對于一個現實對象，為了達到某種特定的目的，根據其內在的規律，做出必要的簡化假設，再用適當的數學工具將對象轉化為一個數學結構。在小數概念課中教師應注重模型思想的滲透。例如，一個具體的小數0.3就是一個數字模型。首先，要在實際情境中提煉出0.3：把一張長方形紙平均分成10份，涂色3份，用0.3表示。其次，拓展模型的外延，給這個數字棋型賦予更多的生活意義。如“表示你心中的0.3"，學生在動手操作的過程中，得出了不同的答案，有的加單位分米，得到0.3分米，在直尺上找到了0.3分米;有的加元，得到0.3元，用語言表述0.3元的意義;有的用正方形分-分表示0.3…在這里，把0.3這個抽象的數字看成一個模型，學生用生活中的情境講述了0.3的意義，更重要的是初步滲透了數學建模思想，訓練了學生抽象、概括、舉一反三的學習能力。通過思維的發散與聯想讓學生對"0.3"這個模型進行擴張和推廣，學生能夠深入理解0.3這個小數的本質屬性，進而利用遷移類推的方法來理解認識其他的小數。

　　3·滲透極限思想。極限思想是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。簡單地說，極限是一種趨向性，無窮無盡。小數的產生就是一個不斷進行平均分的過程。一位教師設計了這樣一個環節：用0、2.3和一個小數點組成一個最小的小數(學生得到0.23)，如果加上單位“米"就是0.23米，你能在軟尺上找到0.23米嗎?在軟尺上找到0.023米，表示2厘米3毫米;找到0.0023米，表示2毫米3絲米;找到0.00023米，表示2絲米3忽米;找到0.000023米，表示2忽米3微米，雖然這個小數很小很小，可是科技工作者卻非常在乎這樣的小數，你知道為什么嗎?學生的學習熱情高漲，在一次一次對未知長度單位的猜測中，在一次一次找尋長度的體驗中，流淌著他們對長度及單位不斷變化的真實感受。隨著對小數的深入認識，他們清楚地看到都是用0.2.3來表示的數，長度卻在逐步地縮小再縮小，小到已經很難用肉眼分辨，就在放大鏡下繼續分、再分、繼續分。學生也知道了，有些小數是可以用眼睛看到的，但是有些小數看不到只能想象。此時，學生深深地領悟中間總是有空隙的，是很小很小的空隙。學生頭腦中已經開始萌發數學的極限思想，學生也知道了小數的出現是為了更精確地認識數，同時還體會到了數學的嚴謹、科學與真實性。

　　三、經歷五個認知層次，科學有效地掌握小數知識

　　德恩特蒙特認為，小數學習的認知過程包括五個不同的層次：具體物的層次、操作說明的層次、程序的層次、心智的層次和抽象的層次。

　　1.具體實物的層次。這是小數學習的第一個步驟，通俗地說，就是聯系生活實際，引出學習的素材。例如，一位教師在教學"小數的意義”這節課時，拿出了一個運動會中用過的別針，問道：“這種別針多少錢一個?"有學生答道："1角。”有的學生說："0.1元。”教師繼續提問：“難道1角=0.1元?0.1元表示什么意義?

　　0.01元表示什么意義?本節課我們就一起來研究0.1、0.01 0.001等小數的意義。”在這里，探究的素材就是來源于學生熟悉的具體物件，它是實實在在的，不陌生的。

　　2·操作說明的層次。通過數形結合的方法，將物轉化成直觀的可操作的形，直觀地解釋某一個具體物中小數的含義。“一個別針0.1元"，這里的0.1元到底是什么意思?教師把量轉化成圖：“如果把1元看成一張正方形的紙，那么1角會占這一張紙的多大一塊?”學生一開始的表達是不完整的，但互相補充以后就得到了1元=10角，“把1元看成一張正方形的紙，把這張紙平均分成10份，1角就占其中的一份，用分數表示是十分之一元，用小數表示是0.1元，其中的0表示0元，1表示1角"。在操作的過程中，學生通過實際情境與圖形雙重素材初步感知了0.1的含義。結合1元-100分，學生也會通過此種操作理解0.01元的意義。

　　3.程序操作的層次。會使用操作法則直觀理解多個小數。學生初步理解了0.1元或者是0.01元的意義并不代表能夠理解其他小數的意義，他們知道了把1元平均分成10份，取出其中的一份就是十分之一元，也就是0.1元，那么按照剛才的操作程序，取出2份、3份呢，他們會嗎?為了讓學生更深一步理解，教師需要引導學生按程序來進一步操作：“我們知道了1角、十分之一元與0.1元之間的關系，在圖中你還看到了幾角?它可用哪個分數和小數來表示呢?為什么?"按照這樣的程序操作，能夠進一步加深學生對一位小數的理解。對于兩位小數的操作，就可放手讓學生自己去創造：給每位學生一張正方形的紙，讓學生按照操作程序創造出自己喜歡的小數，然后與同桌交流自己的創作方法。這樣，學生通過具體的元、角、分之間的關系與直觀圖形的結合，進一步理解了一位小數與兩位小數的意義。

　　4·心智模式的層次。大部分學生雖然在程序操作層次時的表現還算不錯，但還無法達到最后一個層次，可見應該還有一個介于這兩者之間的層次，即心智模式的層次。比如把一個正方形平均分成10份后，學生能找到0.1、0.8等小數，能結合具體的元、角、分情境說出這些小數的意義，但是這里的理解僅僅是就事論事、就物論物、就圖論圖，脫離了元、角、分以及圖形的分一分，學生還能理解0.4的意義嗎?例如教師拿出一根4分米的繩子，提問：“如果用米做單位，這是多少米呢?"這個時候，學生就會有一個心智快速活動的過程，物變了，不再是人民幣了，圖也變了，不再是正方形了，他們通過思考，可能會直接用語言表達，也有可能會通過畫圖的方式表達，不管怎樣，這都是一個舉一反三、獨立思考的過程，是一個量變到質變的過程。教師也可為學生提供幾個學具，例如讓學生從米尺、數軸、溫度計、健康秤中任意選出一種學具表示一個具體的小數，讓學生創造小數，并學會用數學語言表達，清楚一位小數或兩位小數的產生過程，理解小數的意義。

　　5·抽象概括的層次。此時學生對于小數的感知已經能夠脫離具體的量與圖而存在了，他們對于"0.3表示什么?0.7表示什么?"以及“為什么”都能給出合理的解釋，學生只有達到這個層次，才算真正直達小數知識的核心-小數概念的理解。這個時候，教師再組織學生抽象概括一位小數、兩位小數和三位小數的意義就比較容易了。

　　德恩特蒙特認為，在上述層次中，每一種層次都是被外面的層次逐層所包裹的，小數概念的建立是小數知識的起點，也是核心，學生為了要獲得小數的概念性知識，必須層層剝離，從物到形，從物形結合又回到數，從數再回到生活，這樣的一個過程，才是學生應該經歷的一個小數概念的學習過程。

　　總之，在小數概念課的教學中，教師要“吃透"核心概念的內涵與外延;滲透重要的數學思想方法，提高學生的數學核心素養;遵循學生的認知規律和身心發展規律，關注小數概念課教學的三個核心，滲透三種思想方法，從而真正提高小數概念課教學的有效性。

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