【摘要】在數學思想、內容與方法的歷史性變革過程中，數學真理的觀代性開始發生轉向，逐步表現出一些后現代特征：數學真理從追求形而上學的目標與價值轉向追求相對的、多樣化的理論構建;數學真理是一個具有不同層次性和等級結構的開放體系;數學真理超越了自然真理的范疇，開始生長出一種新維度——可選擇性;形式化與非形式化都是獲得數學真理的有效手段。

　　【關鍵詞】發南核文章,數學真理,后現代轉向,哥德爾定理,形式化,非形式化

　　數學真理作為數學認識論的核心問題，既是關于數學知識真實性、客觀性、可靠性、可信性的一個重要指標，也是衡量人類科學發展水平的一個基本尺度。文藝復興以來，隨著近代數學的誕生，人們對數學真理的理解達到了新的高度，逐步形成了現代性的數學認識，其主要標志就是以形而上學和柏拉圖主義為基調的絕對主義和基礎主義的真理觀。隨著后現代思潮的崛起，現代性的科學觀念受到強烈的沖擊。在后現代哲學的語境中，人類以往創造的所有知識的合法性都受到了質疑。后現代主義者解構現代性的氣勢不僅有些咄咄逼人，而且其對現代性的批判的確也不乏深刻性和合理性。當后現代主義對普遍真理、宏大敘事、邏各斯中心主義、本體論和本質主義提出質疑并予以解構之后，作為現代性和科學真理的一個典范——數學，將如何應對后現代的挑戰并對其真理性重新定位?這是一個十分重要的科學認識論問題。置身于后現代的語境之中，透過后現代獨特的話語視角對數學真理的現代性觀念及其內在演化機制進行解讀和反思，我們會看到，從1世紀到20世紀，數學無論從思想上、內容上、方法上和體系上都發生了很大的變化，其中許多變化是具有革命性意義的。作為科學知識之主要標志的數學真理及其觀念也相應地展現出許多不同于現代性觀念的后現代特征。這些新特征極大地豐富了數學真理的內涵，深刻地變革了關于數學真理的現代性觀念，開拓了人類理性認識的新維度。可以說，數學真理觀正逐步從現代性轉向后現代性。盡管如此，數學真理的概念對于數學而言依然是極為重要的，是不能完全解構或取消的。但隨著數學的發展，數學真理性的意義將發生深刻的演變。數學并不具有終極的、絕對的、中心化的、惟一不變的認識論基礎，數學的真理性具有鮮明的社會、歷史和文化特征。

　　一、數學真理從惟一性、終極性向多樣性、譜系性的轉向

　　現代性的數學真理觀念源自于古希臘畢達哥拉斯—柏拉圖主義的數學傳統，到17、18世紀，其基本思想趨于成熟。從柏拉圖到康德，整個西方數學的文化精神都是以畢達哥拉斯—柏拉圖主義的數學傳統為基準的。無論是笛卡兒的萬能代數方法、萊布尼茲的數理邏輯思想，還是拉普拉斯的用數學方程式精確刻畫宇宙秩序的決定論思想，都是現代性數學真理觀念的典型產物，其基本特點是對數學真理的惟一性、終極性、絕對性、整體性、永恒性的信仰。康德雖然把純粹直觀作為數學知識判斷的一個要素，但這種直觀卻是先天的。在康德看來，數學是先天的綜合判斷，是形而上學的典范。這種現代性的數學哲學觀作為西方理性主義的一個重要源泉，對西方科學主義思想以及后來的邏輯實證主義科學哲學思潮的形成都具有深刻的影響。

　　19世紀以來，數學的知識進步發生了持續、內在的變革。作為這一變革的一個重要的認識論突破，開始出現一系列解構現代性數學觀念的思想萌芽。首先是非歐幾何的誕生和代數學的抽象化。非歐幾何的誕生，是數學觀從現代性向后現代性轉向的一個重要標志。非歐幾何瓦解了長期以來人們對數學公理“不證自明”和免予質疑的認識定位。數學公理的選擇是一種基于認識必然性規律之上的合乎推理程式的理性與歷史的共同抉擇。這種抉擇不再是惟一確定的而是多樣變化的，不再是絕對意義上的而是有了相對的意義。非歐幾何所揭示出的新的數學真理品質表明，數學真理并不是像康德所假設的那樣，是一種先驗的直覺和綜合判斷。

　　然而，盡管非歐幾何的產生初步改變了人們對數學真理具有惟一性的信念，并初步揭示出現代性數學真理觀的內在認識論缺陷，但隨著非歐幾何的相容性問題的解決，在當時的大多數數學家心中，存在著一個絕對的、終極的和完全確定的數學基礎仍是不言而喻的。集合論誕生后，一度被視為建立終極性數學基礎的法寶。但隨著康托悖論、羅素悖論等一系列數學與邏輯學悖論的不期而至，數學出現了前所未有的基礎危機。面對危機，數學界和數理邏輯界的領袖人物雄心勃勃地提出了各自宏偉的數學奠基工程計劃。無論是以羅素、懷特海為代表的邏輯主義，還是以希爾伯特為開創者的形式主義，都企圖在完全邏輯化、充分形式化和徹底公理化的基礎上重新構筑數學真理，以扶正并穩固已經傾斜的整個經典理性主義大廈。邏輯主義和形式主義都相信，數學知識是由無可非議、絕對確定、絕對可靠的為數不多的邏輯的或數學的概念、公理經過嚴格的邏輯或數學方法推演出來的。他們確信，所有的數學定理都可以從這種完美無缺、固定不變的基礎中得到，因而所有的數學真理便可以通過奠定一勞永逸和完全可靠的數學基礎而獲得。邏輯主義的代表人物羅素闡述道：“邏輯原理和數學知識的實體是獨立于任何精神而存在并且僅為精神所感知的。這種知識是客觀的，永恒的。”[1](p.219)邏輯主義有兩個基本信條：(1)所有的數學概念最終都可以歸結為邏輯概念;(2)所有的數學真理都可以單憑公理和邏輯推演規則得到證明。而形式主義者提出了著名的希爾伯特綱領(即關于數學的數學或元數學)，其基本思想是：(1)純數學可表示為不予解釋的形式系統，在此系統中數學真理由形式定理來表現;(2)可通過元數學方法，借助于擺脫不相容性來證明形式系統的可靠性。

　　從認識論的角度看，邏輯主義者與形式主義者都把數學真理建立在絕對、封閉、完備的理念之上，其認識論背景，正是利奧塔所稱的“宏大敘事”或“元敘事”、德里達所稱的“邏各斯中心主義”和本質主義;在方法論上則是決定論和還原論。所不同的是，形式主義者更偏重于從數學的角度來看待這一問題，而邏輯主義者則期望把邏輯作為認識的起點。從更廣闊的知識背景來看，邏輯實證主義在科學與知識的真理標準和判斷方面所表現出的強烈的證實主義、還原論和狹隘科學主義傾向，也是與上述典型的現代性數學理念密切相關。

　　與邏輯主義、形式主義和邏輯實證主義建立普遍的、總體性的數學的意愿相反，20世紀30年代初，奧地利年輕的數理邏輯專家哥德爾發表了在數學、數理邏輯乃至整個科學界都具有劃時代意義的不完全性定理(注：哥德爾不完全性定理由以下兩條定理組成：(1)足以包括數論在內的任一形式系統中，存在一個不可判定的公式——即一個公式和它的否定都是不可證明的。(2)足以包括數論在內的形式系統的協調性在本系統中不能得到證明。)。哥德爾研究形式公理化體系相容性問題的本意是為了證明希爾伯特綱領，即完成對包括算術系統在內的形式化體系的相容性證明，但最終得到的結果卻完全出乎人們的意料。哥德爾定理表明，在任一形式體系中都有不可判定命題存在。由于任一形式體系都無法在自身范圍內完成自我解釋和說明，所以邏輯主義和形式主義的基于邏輯化、形式化、封閉性和完備性的數學基礎主義計劃就是無法實現的。數學命題的正確性不僅要受到數學概念是如何界定的、數學公理是如何選擇的、數學的論證方式是如何取舍的等多種因素的影響和制約，而且有時候在體系內還是不可判定的。數學的定理不是從毋庸置疑的、絕對無誤的前提下，通過絕對可靠的推理規則得到的不容懷疑的絕對真理。數學命題的正確性不僅依賴于可能變換或更替的前提和假設，而且依賴于推理規則的選擇和限定。換句話說，數學并沒有形而上學意義上的嚴格性。數學命題、理論的真理性就取決于數學共同體搭建的理論平臺和數學語境，因此，數學知識就被賦予了強烈的社會文化性。

　　從19世紀中葉非歐幾何的誕生到20世紀初哥德爾定理的產生這一段歷史時期，數學的知識演變逐步解構了以完美性、永恒性和確定性為標志的絕對主義數學真理觀。從更深刻的歷史背景來看，基礎主義數學真理觀的危機從根本上表明了現代性意義上的西方理性主義和科學主義已經走到了絕境。邏輯主義和形式主義的一個致命的認識論錯誤就在于，欲把數學置于機械的、僵化的、教條的、終極的法則和規則之下，把一切已有的或尚未發現的數學思想、理論、方法都歸結和還原到固定的、惟一的、不變的、靜止的基礎主義數學教條上去，其結果只能是扼殺數學的創造性和生命力。實際上，數學研究應該從一舉實現關于真理話語的永恒的、終極的、整體的宏大目標轉向對局部的、有限的、形成性的和階段性的目標追求。數學在刻畫世界圖式、探索宇宙奧秘的同時，更要關注現實問題，如當代科學前沿進展、人工智能與數字化、經濟增長與技術進步、由信息、通訊技術所營造的新的社會秩序、新的文化范式等。只有充分地關注并體現時代命題，數學真理才能獲得新的意義。20世紀以來數學發展過程中許多重大的理論創新和突破都是這一新的認識范式的產物。例如隨機數學、模糊數學、突變理論、分形與混沌理論等。

　　19世紀后半葉以來的這種有限的、局部的、相對的、富有時代特征的追求真理的態度，顯示出數學真理越來越深刻的人類學和譜系學特征。當代數學研究越來越重視從數學的邊緣化的、細節的、局部的、奇異的和非常態的部分開拓新的領域。數學家開始越來越多地接受一個沒有固定基礎的數學體系，承認數學中存在著不可判定命題，對悖論從絕對排斥到相對容忍。還有許多數學難題，如連續統假設、公理集合論的相容性證明等，也一直未獲解決。因此，在數學認識活動中，必須放棄那種一蹴而就地達到絕對真理殿堂的奢望，把追求數學真理的過程與目標同人的認識過程相一致，通過實現分解了的、局部的、系列的子目標而逐步邁向整體目標。概括起來看，這一轉向的基本特征是，數學真理從追求一勞永逸的終極性目標和擁有一成不變的、形而上學的、絕對永恒的知識體系及其價值，轉化為追求分解了的、可實現的子目標和按邏輯程式、知識法則和思維方法所設置的各種可能的、多樣化、具有譜系學特征的理論框架。

　　二、數學真理是具有不同層級的、開放的、動態的理論體系

　　現代性數學真理觀的一個基本特征就是對數學理論體系的封閉的、連續的、線性的、簡單統一性的認識定位。然而在19世紀以來的數學演變過程中，數學知識結構和理論體系的基礎性、封閉性和簡單統一性被打破，逐步被更為寬泛多樣的、離散的、非線性的、網狀結構的、不斷變革的和開放的新的數學知識、理論和方法所取代。數學理論的多樣化、開放性和知識建構特征不僅使數學知識結構呈現出了層次性，而且賦予了數學真理以更加豐富的內涵。數學真理不僅包括那些由基本的、原始的定義和公理所必然蘊含的重言式，而且也開始接納和包容那些具有不同程度真理性的命題、判斷、猜想、假設和方法。從其確切性相對較高的中心內核到確切性逐漸減弱的外層，數學真理逐漸形成了一個不斷生長的動態體系。

　　皮亞杰深刻分析了數學中的創新具有無限運演的可能性：“數學實體己不是從我們內部或外部一勞永逸地給出的理想客體了：數學實體不再具有本體論的意義;當數學實體從一個水平轉移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變;對這類‘實體’進行的運演，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復下去，直到我們達到一種結構為止，這種結構或者正在形成‘更強’的結構，或者在由‘更強的’結構來予以結構化。”[2](p.79)實際上，這種不斷變化演進的數學等級結構背后對應著數學真理的等級結構。與之相應的就有一個數學真理可信度的標準，這種標準賦予不同等級的數學真理以不同程度的可信度，這表明后現代的數學真理是一個具有不同層級的理論體系。徐利治和鄭毓信進一步指出：“數學真理是具有層次結構的……可以引進適當的‘測度’去作為數學真理性程度的衡量標志或評價標準。”[3](p.18)

　　后現代的數學真理觀在拒絕絕對主義、封閉性和完全自足的觀念之后，其認識論上的轉向就是賦予數學真理以進化、動態和開放的特征。在此，我們必須弄清的一個重大數學哲學理論問題是：數學在多大程度上是靠得住的?那種把數學視為絕對真理化身的見解和數學具有絕對可靠的、終極不變的基礎的觀點已被證明是錯誤的;然而，并不能因為感到數學喪失了經典意義上的確定性而對數學真理性感到絕望和悲觀。從整體上看，相當大的一部分數學知識的真理性是取決于其公理體系的可靠性。然而，公理及其體系的可靠性卻無法完全從數學中獲得確認，它需要從其他的公理、元數學或數學的外部去尋找。羅素在分析了數學真理所具有的歸納主義傾向之后，提出了不同于其最初的邏輯主義實在論的主張，認為為了證明數學是真的，“需要其他的方法和考慮”。[4](p.399)而就數學內部而言，如果僅僅依賴于歐幾里得計劃、經驗主義計劃或歸納主義計劃等邏輯還原和化歸方法，數學的真理意義就會陷入所謂“無窮回歸”的永恒危機之中。擬經驗主義者的觀點是：“數學是數學家做的或做過的事情，它具有任何人類活動或創造所具有的不完善性。”[5](p.42)這種“理性重建”試圖展現真實的數學情境，其實質是數學知識的發生論。與波普爾的證偽主義哲學相比，拉卡托斯由于強調數學的歷史性和實踐性，其學說超越了波普爾而與庫恩的范式革命有共通之處。庫恩主張把科學置于一個廣泛的歷史發展背景中去考察，這對于理解數學同樣適用。數學是一門不斷生長的知識，具有進化和社會學的特征。數學新知識及其真理性將隨著知識接受檢驗程度的提高以及數學內部體系適應性的提高而不斷地進行調節、修正和改進。對于經過多項指標檢驗的數學知識，可以賦予其相對穩定的價值。我們之所以相信科學的計算和方法，是因為它在日常生活、商業貿易、工程技術和科學研究中提供了準確無誤的運算結果。正因為如此，人類才敢把載人航天器送上太空。與現實有關的數學命題的真理性隨著數學的發展會呈現出越來越精確、越來越豐富的特點。

　　數學真理的另一個內在特點是，其真理性依賴于其初始理論的假設和約定。亨佩爾指出：“數學的正確性來自于那些決定數學概念涵義的規定，因而數學命題本質上是‘定義為真’的。”[5](p.8)如在十進制中，1+1=2是真理，而在二進制中，1+1=2就成為一個沒有任何意義的命題。盡管亨佩爾的論點揭示了數學真理的一個本質屬性，但卻忽略了數學本質中的不可或缺的經驗維度，所以僅僅把數學命題的真假性看作是“定義為真”，是無法展示數學真理的全部風采的。因為并非全部的數學命題的真偽性都能在其公理體系中得到確認，特別是當理論尚不成熟時，相應的真理意義就不可能是明晰的、精確的和完整的。這時候，許多結論和推斷具有暫時的、模糊的、似真的、可錯的特點。重要的是，無論在哪種情況下，數學真理及其意義都有賴于始終處于動態中的知識創造過程。在此，我們可以體會到為什么數學兼具發現和發明兩種品質。數學真理的這一雙重性特點體現了人性與知性的辯證統一、主觀性與客觀性的辯證統一。

　　三、數學對自然真理性的超越及其解釋學意義

　　數學真理從現代性向后現代性轉向的第三個基本趨勢是，數學真理超越傳統數學認識論中的真理符合論、單一真理性和數學實在論觀念，開始強調數學真理對自然和其他各種現象的多樣化解釋。數學真理除了包含已知的應用領域的大量現實性真理和描繪自然現象、刻畫自然規律的自然真理之外，還包含著許多在未知領域和理想狀態下所廣泛進行的理論建構和模式構造。當非歐幾何的相容性被牢固地建立在歐氏幾何相容性的基礎之上時，傳統數學真理觀的一個預設——數學是對自然真理的精確刻畫、數學真理就是自然真理的論點便開始失去了根基。數學概念與客觀實在之間并不是完全對等、同一和符合關系。惟一性作為真理的一個普遍特征而數學卻不具備。因為存在兩組以上具有不同內容(甚至截然相反)的公理體系并行不悖這一事實，這能夠導出在數學真理體系中必然具有的多樣性觀念和隨之而來的可選擇性觀念。黎曼幾何的創立者，著名數學家黎曼在1854年就設想，空間的有限區域的結構性質不同于無限區域(包括無窮大和無窮小)的結構性質。這種思想在廣義相對論誕生60多年前便已產生，這充分顯示了數學在科學進步中的超前和先導作用。黎曼拋棄了康德“綜合知識的演繹有惟一的確實結構”的見解，認為就組成科學知識的概念框架而言，數學理論對經驗主義的知識起到了一種相對的或辯證的演繹作用。黎曼還認為，非歐幾何的誕生表明數學與現實的分離。如在現代幾何學中，點、線、面等基本幾何概念已從歐氏幾何中的抽象的實體意義下擺脫出來，不再被賦予任何實體意義。這種見解的合理性在于，可以允許數學超越以前那種必須有與之對應的經驗背景或應用對象的研究范圍。現在看來，由于數學處理著對應于十分不同但又有內在聯系和統一性的復雜客體及其所展示的各種各樣的模式，因此，在一種預設的理論整體統一性和和諧性的前提下，所呈現的多樣性和可變性便會不可避免地進入數學真理的范疇。后現代時代的數學真理必須保持一個多重模式并存，同時在體系上相互聯系、相互作用、彼此協調的框架。

　　數學在19、20世紀所取得的一個令人矚目的成就是數學理論的多樣性，這種多樣性賦予人們對于數學概念、公理、方法以相對的選擇自由。許多數學定義、問題、方法和公理已不再具備絕對的、必然的意義。其中比較典型的例子如“連續統假設”、“選擇公理”、“非直謂定義”、“超限歸納法”等。著名數學家彭加勒在《科學的假設》一書中提出以下見解：“數學的創造力歸因于對初始假設及定義的自由選擇，其后，通過對推演出來的結論和可觀察世界的比較，對這些定義和假設加以約束。”[6](p.246)這種自由選擇實際上體現了數學共同體的研究范式、學術語境和價值取向。康托宣稱：“數學的本質在于其自由。”這一思想作為對長期以來占據數學哲學統治地位的柏拉圖主義和形而上學的一種否定，其意義是不可低估的。康德說，規律在哪里，人的自由也在哪里。黑格爾的兩句名言：“人作為人是自由的，精神的自由構成了人最特有的本質。”[7](p.21)“必然性的真理就是自由。”[8](p.120)數學真理發展的新特點生動地說明了這一點，數學發展的這種越來越強烈的自由化趨勢充分表明人對數學本質及其規律的把握已經達到一個新的水平，人類對于數學的認識正從必然王國邁向自由王國。

　　這里要澄清的是，數學中的自由是一種相對的自由，而不是絕對的自由。著名數學家馬寧指出：“數學的自由只能在嚴酷的必然的限度內發展。”[6](p.251)這一觀點深刻地闡明了數學中的自由這一概念的本質特征。所謂“嚴酷的必然的限度”無非就是數學世界的法則、規則、自律性和秩序。數學家赫斯(Hersh)明確提出，數學對象是由人發明或創造的，但“它們不是隨意創造的，而是從已有的數學對象以及科學和日常生活的需要中得到。數學對象一旦被創造出來，就具有了很好決定的，獨立的品質”。[9](p.42)這是一種典型的建構實在論立場。由此可見，數學中的自由本質上是人的精神自由與數學內在規律的高度和諧和統一。

　　既然宇宙萬物間復雜多變的關系呈現出多樣化的統一，那么從理論與現實的關系看，在數學真理的價值判斷中，可選擇性就成為數學真理判斷的一個必然選擇。相應地，可解釋性也就成為數學真理的一個新維度。羅杰·瓊斯指出，在當代物理學的“任一領域中，基本方程都有可供選擇的數學表達，對任一基本方程的數學表達來說，解釋的多重性都存在，每一種解釋都不可避免地與某種表達能力相關”。[9](p.175)一方面，許多數學理論作為對自然法則、規律和圖式的一種刻畫日益顯示出其精確、多樣、廣泛和深刻的特點。例如同一偏微分方程可以同時表征從經驗直覺上看是迥然不同的現象，而同一現象亦可以用不同的數學模型和理論視角去加以透視。另一方面，由于數學理論構造的需要，許多數學知識(特別是相當數量的純粹數學知識)可能暫時沒有必然對應的現實模型。在這種情況下，對數學真理的認識定位若僅僅囿于現代性觀念下的符合論、目的論和反映論就遠遠不夠了。為了使數學盡可能有效地描繪包括自然現象在內的各種現象，就必須全方位地在理論上、邏輯上探討各種可能性，并允許給予理論的多樣性留下充分的解釋余地。當數學語言不再與對象實體之間具有一一對應的關系，當數學的理論生成超越了主客體之間的二元對立，當數學的理論構造超越經驗本位和實踐本位的真理判斷之后，數學真理就逐步淡出物質客觀實體的視域，轉向了自身語言的深層結構框架中。數學真理把其話語的合理性交付給自己的語言體系，數學命題的意義和判斷被融合在其結構中的語言關系、句法轉換和交互性當中。值得一提的是，在數學基礎理論的三大流派當中，以布勞威爾為代表的直覺主義表達了一種類似于后現代思想的語言觀。布勞威爾在維也納的一次著名演講中表示，即使是純粹數學也并沒有必然可靠的語言。這一觀點對維特根斯坦后期的語言學轉向，并進而對后現代語言學都產生過影響。由于數學語言把“世界3”的建構實在性作為新的認識論定位，因此就有必要發展出一種關于數學語言與日常語言、數學理論與現實情境之間關系的解釋學理論。

　　四、數學形式化的局限性與哥德爾定理的人文意蘊

　　作為西方邏各斯中心主義和理性至上這一歷史文化傳統演變與發展的一個必然結果，形式化的思想與方法在19世紀末到20世紀初的數學發展中被推到了極致。數學基礎主義者都篤信，一旦基本概念框架、公理結構和推理法則給定，則所有的數學真理均能被演繹出來。前面已經論述過，這一具有強烈現代性特征的數學宏大敘事已經隨著哥德爾在1931年發表的不完全性定理而變為泡影。哥德爾定理表明，那種把全部數學知識與真理鑲嵌在封閉的形式化、公理化演繹系統中的理想是無法實現的。

　　哥德爾定理不僅在數學界與數理邏輯學界影響至為深遠，而且有著更為深刻的后現代哲學意義。后現代主義的代表人物利奧塔把哥德爾定理視為知識本質發生變化的一個真正范例，這是很有見地的。因為，20世紀以來，語言學轉向的一個基本傾向就是意欲消解“主體中心主義”。而人工智能的研究則試圖從技術科學的維度上實現人類思維的機器化。理論計算機科學有下述見解：“在廣泛的意義上講，任何一種形式的信息加工和信息的活動(包括大腦的思維活動中的信息加工和信息活動)都可以看作是一個計算的過程。”[10](p.440)“強人工智能”的觀點甚至認為：“任何計算儀器，甚至最簡單的機械，諸如恒溫器的邏輯功能都具有某種精神的品質……精神活動只不過是進行某種定義得很好的、經常稱作算法的運算。”[11](p.17)這些觀點已經構成了對人的精神與理性認識本質的嚴峻挑戰。而后現代主義的代表人物福柯則模仿尼采的“上帝死了”聲稱“主體的終結”。一時間，人類認識的主體性地位面臨著被物化、被異化、甚至有被取消的危險。那么，究竟應該如何看待人的認識主體性呢?如何消解“強人工智能”對算法化、形式化的盲目崇拜呢?

　　毋庸置疑，把人類的認識活動納入高度的形式化框架是科學發展的一個里程碑。計算機技術日新月異的發展不僅使得計算機在許多方面都遠遠超過人腦，而且開辟了理解人類精神現象及其本質的新方向。隨著諸如人工智能等高技術的發展，人類社會將產生持續、巨大的變化。但這是否意味著機器能完全替代人腦呢?用數學語言來表述就是，人的思維和心智活動在過程和性質上是否可以完全算法化呢?算法化、形式化是否就是智慧的全部呢?哥德爾定理告訴我們，形式化和算法化是無法形成自我封閉的完備體系的。奈格爾和紐曼則進一步指出：“哥德爾不完全性定理表明，即使在基本數論中也有數不清的命題是不能用這種公理化方法解決的。無論機器設計得多么好，運算得多么快，它都不能對這些問題作出回答……哥德爾定理表明，人腦的能力和結構是至今任何非生命的機器所不能比擬的。”[2](p126)西爾勒中文屋子的理想實驗(注：西爾勒中文屋子的理想實驗是美國哲學家約翰·西爾勒所設計的一種理想試驗，其目的是為了反駁電腦具有智慧和精神品質，而人的精神活動只不過是進行某種定義得很好的算法的運算的強人工智能觀點。詳見彭羅斯：《皇帝新腦》，湖南科學技術出版社1996年版，第17-18頁。)強有力地表明電腦等非生命機器的“思維”與人類智慧具有本質的不同。數學家馬葛紐斯(Magnus)這樣論述道：“人類的智慧要優于任何可以想象得到的計算機……我們的數學能力，為我們在自然界中所處的特殊地位提供了也許是最簡單，但也是最強有力的，非形而上學的證據。”[13](p.243)數學固有的非算法本質表明數學真理絕不僅限于用形式化方式加以表征。人類的思維和精神是不可能被完全模擬的。哥德爾不完全性定理告訴我們，數學認識活動和數學思維的本質決不是形式化、算法化、程序化和機械化所能完全概括的。

　　必須看到的是，哥德爾不完全性定理并不意味著人的數學認識能力的局限性，它只是表明了類似于形式主義、邏輯主義和人工智能所倡導的極具現代性科學語言學表征的形式化語言的某種不可避免的、難以克服的局限性。哥德爾本人就清楚地指出，他的不完全性結果“絲毫沒有給人類理性的力量設立界限，而只是給數學中純形式體系的潛能設立了界限”。[14](p181)雖然目前形式化的趨勢仍十分強勁，其作用亦不可低估，盡管算法化作為數學的一個基本特點使得諸如機器證明等新興數學范式炙手可熱，數學也將繼續給予人工智能和計算機科學以豐碩的理論與技術支援，但在構造性、算法化與形式化之外仍有著廣袤的數學疆域。非形式化作為與形式化互補的認識方法，作為數學發現的方法同樣蘊含著豐富的真理素材和揭示新真理的可能性。而形式化語言在認識論上的盲點只有依靠非形式化才可消除。由于形式語言的局限性，數學真理及其判斷并不完全局限在形式化語言的邏輯框架內。哥德爾認為形式語言都面臨著以下困難：“一種語言中的某個句子的真理概念是不能由這一語言確定的。”[15](p.76)波蘭邏輯學家塔斯基在1933也獨立地得出這一結論。立足于后現代數學語言學的視角下，我們可以清楚地看到西方傳統的邏輯化—理性化精神本質的內在缺陷。從中更可以看出哥德爾不完全性定理這一20世紀最重要的數理邏輯成果的后現代里程碑意義。更進一步看，我們認為，哥德爾不完全性定理的意義已經超出了科學認識論的范疇，而帶有了深刻的人文價值和濃厚的終極關懷意味，它顯示了人的主體性認識地位的終極性和基始性。

　　在西方中世紀基督教文化傳統中，人曾被置于上帝之下、萬物之上的特殊地位。然而，自近代思想啟蒙運動以來，哥白尼的日心說、達爾文的進化論卻分別摧毀了人類居所宇宙中心論和物種至高無上性的思想。而隨著現代人工智能研究的進展，人的精神與思維的主體性地位也開始被動搖。實際上，近代的日心說與進化論并沒有對人文精神和人的主體性構成實質性的威脅，但當人的主體意識、人的精神與思維活動可以被模擬、被物化、被復制，甚至最終被替代時，這才是一種真正的人文精神和人道主義的危機。所幸的是，在數學真理的后現展中，人終于能夠堅守住關于人的本質的最后一道防線：在一切認識活動中，人的最終主體性地位與終極性價值是無法取代和不可動搖的。這或許是數學真理觀的后現代轉向對關于人的主體性及其意義的一個異質于激進的后現代解構主義立場的基本認識論和價值論定位。

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