摘要為了探究互聯(lián)電力網(wǎng)絡中的Braess悖論現(xiàn)象，本文采用二階類Kuramoto相振子模型對電網(wǎng)進行動力學建模，將兩個子網(wǎng)通過大度節(jié)點相連構建互聯(lián)電網(wǎng)，當兩個子網(wǎng)間有功率傳輸時，分別在兩個子網(wǎng)內(nèi)部新增傳輸線路探究互聯(lián)電網(wǎng)發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率并分析其原因。研究發(fā)現(xiàn)，當互聯(lián)電網(wǎng)中兩個子網(wǎng)間的功率傳輸達到某一臨界值時，受電子網(wǎng)的同步能力遠優(yōu)于供電子網(wǎng)的同步能力，供電子網(wǎng)新增傳輸線路引起互聯(lián)電網(wǎng)發(fā)生Braess悖論的概率遠高于受電子網(wǎng)新增傳輸線路引發(fā)的Braess悖論概率。文中通過定義子網(wǎng)序參數(shù)對上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因進行了深入分析。本文的研究對互聯(lián)電網(wǎng)的拓撲優(yōu)化具有重要指導意義。

　　關鍵詞復雜網(wǎng)絡;互聯(lián)電網(wǎng);同步;Braess悖論

　　引言Braess悖論[16]的概念是德國數(shù)學家DietrichBraess[1]于1968年在一篇關于交通網(wǎng)絡規(guī)劃問題的文獻中首次提出。一般而言，在相對擁擠的城市道路中，通過擴展路網(wǎng)、新增道路能夠疏解交通，提高通行效率。然而，Braess的研究指出，在交通網(wǎng)絡中增加路徑可能會出現(xiàn)與預期效果相反的現(xiàn)象，新網(wǎng)絡的通行效率不升反降，到目的地所需要的通行時間更長。近年來，許多專家學者研究發(fā)現(xiàn)電網(wǎng)中同樣存在與交通網(wǎng)相類似的Braess悖論現(xiàn)象，即新增一條傳輸線路，不僅沒有提高電力網(wǎng)絡的同步性能，反而使得電網(wǎng)同步性能惡化。

　　中國電業(yè)期刊發(fā)表簡述電力資源工程技術

　　隨著我國經(jīng)濟快速發(fā)展，對電力資源的需求愈來愈大，電力系統(tǒng)的結構也日趨復雜，伴隨而來的能源分布與區(qū)域經(jīng)濟不匹配的矛盾也日趨顯現(xiàn)。國家在本世紀初啟動了“西電東送”工程[79]，有效緩解了西部地區(qū)電力資源富裕而需求相對較少，東部沿海地區(qū)電力資源短缺而需求相對較大這一矛盾。隨著電網(wǎng)互聯(lián)供能的優(yōu)勢愈發(fā)明顯，它已成為改善電力結構不合理，優(yōu)化資源配置的重要手段。在此背景下，未來對電網(wǎng)進行擴建、優(yōu)化以及改造時必然會面臨電網(wǎng)的Braess悖論現(xiàn)象的發(fā)生，因此，對互聯(lián)電網(wǎng)中的Braess悖論現(xiàn)象進行深入研究顯得至關重要。

　　Witthaut和Timme[1011]研究發(fā)現(xiàn)，Braess悖論現(xiàn)象是在不同類型供電網(wǎng)絡中出現(xiàn)的普遍特征，在已經(jīng)存在并穩(wěn)定運行的電網(wǎng)中增加新的連接線并不總是促進同步，增加某些連接線實際上降低了電網(wǎng)的同步穩(wěn)定性，并帶來巨大的成本。Coletta和Jacquod等[12]研究了在耦合振子網(wǎng)絡中加入新的耦合對同步穩(wěn)定性的影響，研究表明增加新的耦合可以提高或降低網(wǎng)絡穩(wěn)定性，Braess悖論可能發(fā)生在任何復雜的耦合系統(tǒng)中，其同步狀態(tài)可能會被額外的耦合削弱甚至破壞。

　　Baillieul和Zhang等[13]基于基爾霍夫定律發(fā)現(xiàn)配電網(wǎng)中也會出現(xiàn)類似于交通網(wǎng)的Braess悖論現(xiàn)象。Tchawou等[14]在交流電網(wǎng)模型中研究二次控制的動態(tài)后果，證明了無論拓撲結構如何，運用二次控制都可以提高電網(wǎng)的穩(wěn)定性，防止網(wǎng)絡發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象。Wang等[15]研究了拓撲結構對Braess悖論的影響，并指出可能導致發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的傳輸線路存在于特殊的子結構中，對電網(wǎng)拓撲結構的設計和擴展時避開這些子結構就可以有效避免系統(tǒng)中的Braess悖論現(xiàn)象的發(fā)生。

　　Fazlyab等[16]提出了一種優(yōu)化框架用來設計不同uramoto振蕩器組成的網(wǎng)絡的固有頻率和耦合權重，將可以同時捕獲網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)性能和穩(wěn)定性的相位內(nèi)聚性作為設計約束，并證明了該框架能夠識別出引起B(yǎng)raess悖論的鏈路。以上研究大多是對單一電網(wǎng)的研究，沒有考慮互聯(lián)電網(wǎng)的特性，對具有電力傳輸?shù)幕ヂ?lián)電網(wǎng)中Braess悖論現(xiàn)象的研究還很少見。本文基于復雜網(wǎng)絡理論[1721]，采用二階類Kuramoto相振子模型[22]，通過將兩個子網(wǎng)用傳輸線路連接構建互聯(lián)電網(wǎng)。當兩個子網(wǎng)間有功率傳輸時，分別在兩個子網(wǎng)內(nèi)新增傳輸線路探究互聯(lián)電網(wǎng)中的供電和受電子網(wǎng)發(fā)生的Braess悖論現(xiàn)象并分析其原因。

　　發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的判別方法一般而言，在電網(wǎng)中新增一條傳輸線路可以促進網(wǎng)絡的同步，但是電網(wǎng)中存在與人們直覺相反的Braess悖論現(xiàn)象，即新增一條傳輸線路會使得電網(wǎng)的同步性能惡化。為了進一步探究電網(wǎng)中Braess悖論現(xiàn)象的規(guī)律，準確判別電網(wǎng)在新增某條傳輸線路時是否發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象顯得尤為重要。

　　由2.2、2.3小節(jié)可知，當電網(wǎng)的振子間耦合強度取到臨界同步耦合強度時，電網(wǎng)在經(jīng)過一定的演化時間達到穩(wěn)態(tài)時處于同步狀態(tài)，系統(tǒng)中所有振子以相同的頻率穩(wěn)定運行，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)頻偏等于。此時在系統(tǒng)中新增某條傳輸線路，若網(wǎng)絡同步能力得到改善，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)頻偏必為零。

　　若新增傳輸線路引起同步性能惡化，即系統(tǒng)發(fā)生Braess悖論，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)頻偏必不為零。因此，將網(wǎng)絡的耦合強度設置成臨界同步耦合強度，在系統(tǒng)中新增某條傳輸線路后檢測系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)頻偏是否為，可以判斷電網(wǎng)中是否發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象。當互聯(lián)電網(wǎng)由兩個不同子網(wǎng)構建時，在子網(wǎng)內(nèi)部新增傳輸線路時會發(fā)生類似現(xiàn)象，即當傳輸功率達到一定值時，供電子網(wǎng)新增傳輸線路互聯(lián)電網(wǎng)發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率高于受電子網(wǎng)新增傳輸線路互聯(lián)電網(wǎng)發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率，受電子網(wǎng)新增傳輸線路發(fā)生Braess悖論的概率相較于原單個網(wǎng)絡發(fā)生Braess悖論的概率有較大降低。由于=時，互聯(lián)電網(wǎng)中兩個子網(wǎng)間沒有功率傳輸，沒有體現(xiàn)互聯(lián)電網(wǎng)的功能和特性，故本文未做討論，在作圖時采用綠色虛線連接。

　　我們又在多個不同結構的IEEE測試系統(tǒng)中進行了實驗，均發(fā)現(xiàn)無論互聯(lián)電網(wǎng)是由兩個相同的子網(wǎng)構成，還是由不同的子網(wǎng)構成，在子網(wǎng)內(nèi)部新增傳輸線路時，當網(wǎng)間傳輸功率大于某一門限值時，與原子網(wǎng)發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率相比，供電子網(wǎng)新增傳輸線路發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率非常高，而受電子網(wǎng)新增傳輸線路發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率接近零。我們接著又將子網(wǎng)通過兩條傳輸線路連接進行了類似的實驗，仍然發(fā)現(xiàn)當子網(wǎng)間的傳輸功率大于某一臨界值時，與原單個網(wǎng)絡發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率相比，供電子網(wǎng)新增傳輸線路發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率非常高，而受電子網(wǎng)新增傳輸線路發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率接近零，只是此時傳輸功率的臨界值有所提高。

　　為進一步探究在互聯(lián)電網(wǎng)中Braess悖論現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，本節(jié)將從互聯(lián)電網(wǎng)同步能力以及互聯(lián)電網(wǎng)中供電、受電子網(wǎng)的局部同步能力角度進行分析，最后在大網(wǎng)絡上做進一步的驗證。首先考慮供電子網(wǎng)，相較單一IEEE14系統(tǒng)，在互聯(lián)電網(wǎng)供電子網(wǎng)中有更多新增傳輸線路會引起供電子網(wǎng)同步能力的惡化。

　　比如傳輸線路(1,9)、(4,6)、(5,12)，在單個IEEE14系統(tǒng)中分別新增這些傳輸線路并不會引發(fā)Braess悖論現(xiàn)象，當在供電子網(wǎng)中新增上述傳輸線路時，互聯(lián)電網(wǎng)發(fā)生了Braess悖論現(xiàn)象。通過對供電子網(wǎng)和受電子網(wǎng)穩(wěn)態(tài)序參數(shù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)新增上述傳輸線路時，供電和受電子網(wǎng)的同步能力都有所惡化。

　　雖然受電網(wǎng)絡臨界同步耦合強度變化更明顯，但由于互聯(lián)電網(wǎng)的臨界同步耦合強度等于供電子網(wǎng)的臨界同步耦合強度，所以是因為新增這些傳輸線路引起供電子網(wǎng)同步能力的惡化，才導致互聯(lián)電網(wǎng)發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象。其次考慮受電子網(wǎng)，由于互聯(lián)電網(wǎng)中受電子網(wǎng)發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率很低，這說明有些會引起單個IEEE14系統(tǒng)同步能力惡化的傳輸線路，在互聯(lián)電網(wǎng)中不會引起網(wǎng)絡整體同步能力的惡化。比如我們新增傳輸線路(15,25)、(16,24)、(17,23)，這些會引起單一IEEE14系統(tǒng)同步能力惡化的傳輸線路，仿真發(fā)現(xiàn)并不會引起互聯(lián)電網(wǎng)同步能力的惡化。

　　對供電子網(wǎng)和受電子網(wǎng)穩(wěn)態(tài)序參數(shù)的分析表明，在受電子網(wǎng)中分別新增這些傳輸線路確實引起了受電子網(wǎng)同步能力的惡化。但同時卻引起了供電子網(wǎng)同步能力的提高。從臨界同步耦合強度看，互聯(lián)電網(wǎng)的臨界同步耦合強度由供電子網(wǎng)決定，因此新增這些傳輸線路并不會引發(fā)互聯(lián)電網(wǎng)同步能力的惡化，相反，互聯(lián)電網(wǎng)的同步能力有所提升，電網(wǎng)不會發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象。

　　本小節(jié)通過將兩個IEEE57標準測試網(wǎng)絡作為子網(wǎng)構建互聯(lián)電網(wǎng)對本文結論做進一步的驗證。將兩個IEEE57系統(tǒng)通過最大度節(jié)點相連，當兩子網(wǎng)之間有功率傳輸時，在供、受電子網(wǎng)內(nèi)部隨機新增傳輸線路進行實驗，共實驗100次，保證每次新增傳輸線路不同，為了便于比較，供、受電子網(wǎng)隨機新增傳輸線路的節(jié)點編號一致。

　　本文采用二階類Kuramoto相振子建立電網(wǎng)的動力學模型，研究互聯(lián)電網(wǎng)中的Braess悖論現(xiàn)象。新增傳輸線路后，采用系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)頻偏是否等于來判別電網(wǎng)是否發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象。研究表明，當互聯(lián)電網(wǎng)中的兩個子網(wǎng)間功率傳輸達到一個臨界值時，供電子網(wǎng)和受電子網(wǎng)的同步能力不一致，受電子網(wǎng)的同步能力遠遠好于供電子網(wǎng)的同步能力，供電子網(wǎng)發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率較高，受電子網(wǎng)發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率較低。

　　由于互聯(lián)電網(wǎng)的整體臨界同步耦合強度由供電網(wǎng)絡決定，受電網(wǎng)絡臨界同步耦合強度較小，因此以前在單個網(wǎng)絡中發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的傳輸線路即便增大了受電網(wǎng)絡的臨界同步耦合強度，但由于仍小于供電網(wǎng)絡臨界同步耦合強度，所以不會發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象，但供電網(wǎng)絡則不同，由于相當于接了一個大負載，其達到局部同步困難，因此新增傳輸線路發(fā)生Braess悖論現(xiàn)象的概率高。綜上所述，本文的研究在當前電網(wǎng)互聯(lián)特性顯著，互聯(lián)優(yōu)勢愈發(fā)明顯的背景下，對今后電網(wǎng)擴建，改造以及優(yōu)化有一定的指導意義。

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　　作者：張少澤，鄒艷麗，譚秫毅，李浩乾，劉欣妍