摘要：高速鐵路網絡中列車開行數量多且單列車服務的OD對數量大，給客票定價和票額分配綜合優化問題的求解造成了很大困難。本文基于歷史購票曲線，設計了將服務相同OD對的列車劃分為若干類的聚類方法，提出了面向大規模客票定價和票額分配綜合優化問題的分類定價策略，構建了高鐵客票分類定價和票額分配綜合優化模型并設計求解算法。以包含上下行共567列列車的高速鐵路網絡為例進行計算分析，結果表明：與既有方法相比，引入分類定價策略的高速鐵路列車票價票額綜合優化方法，不僅能提高運輸企業客票收入，還可以節省大規模問題的求解時間。

　　關鍵詞：高速鐵路網絡;票價票額分配;分類定價策略;綜合優化;購票曲線;聚類算法

　　中國已經擁有世界上最大的高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)網絡，但整體運營效益水平仍存在較大提升空間。客票定價和票額分配決策都是影響高鐵運輸企業收益的重要因素，兩者相互制約又相互影響，密不可分。既有研究更多地集中于單一的客票定價問題或票額分配問題，兩者綜合優化的研究相對較少，尤其因為問題的高度復雜性，高鐵網絡的客票定價和票額分配綜合優化研究更為少見。Hetrakul等[1]利用潛類別模型描述旅客的選擇行為，首次提出鐵路票價和票額分配問題的綜合優化模型并設計相應的求解算法，該研究未考慮多列車服務同一OD對的情形。Lin[2]針對高鐵票價和票額分配的綜合優化問題構建了雙層規劃模型，但未給出求解算法和算例分析。

　　在僅考慮單列車運行的前提下，宋文波等[3]提出了隨機需求下的高鐵動態定價與票額分配綜合優化模型。對于多列車服務同一OD對的情形，趙翔等[4]、秦進等[5]和鄧連波等[6]提出了考慮旅客選擇行為的高鐵動態定價和票額分配綜合優化方法，其差異主要體現在旅客出行需求的描述方式、票價的約束條件和票額分配決策變量的形式等方面。趙翔等[7]還將多種交通方式競爭的情形融入高鐵客票定價和票額分配綜合優化的研究中。既有鐵路客票定價和票額分配綜合優化研究大多數僅能解決單列車或者幾列車的問題，無法解決大規模問題，與實際應用存在一定差距。

　　融合差異化定價策略和多階段定價策略，Hu等[8]構建了面向高鐵網絡的客票定價和席位綜合優化模型，設計了適應大規模問題的求解算法。由于列車開行數量多且單列車服務的OD對數量大，文獻[8]提出的方法仍存在求解時間較長的缺陷。本文在文獻[8]的基礎上進行以下幾方面拓展：①提出分類定價策略，對服務相同OD對的同類列車設置相同票價以降低變量規模;②基于歷史購票曲線，考慮各列車旅行時間，設計服務同一OD對列車的聚類算法;③按列定價拓展為按類定價，構建高鐵客票分類定價和票額分配綜合優化模型并設計求解算法。將分類定價策略引入高鐵客票定價和票額分配綜合優化方法，不僅可以彌補現有方法不適用于網絡級問題的不足，還能為我國高鐵網絡市場化運營提供決策依據。

　　1問題描述

　　1.1高鐵客票定價和票額分配綜合優化問題

　　高鐵客票定價和票額分配綜合優化問題可以描述為：對于給定的高鐵網絡，已知高鐵列車運行圖和旅客出行需求函數，在科學合理劃分預售期的基礎上，考慮列車定員、票價上限和下限的嚴格約束，求解服務各OD對的各列車在不同預售階段的最優票價和相應的最優票額分配數量。問題的基本假設如下：

　　(1)僅考慮單一的列車席別。(2)高鐵旅客在預售期內的不同階段對票價的敏感程度不同。(3)考慮旅客在預售期的不同階段對票價敏感程度的差異性，將預售期按照不同的OD對劃分為數量不同且長短不一的預售階段。既有文獻劃分預售期時，一般考慮時間和售票量兩個維度。常見的劃分方式主要有兩種[910]：①將預售期劃分為等時間長度的若干階段;②將預售期劃分為時間長度不同的若干個階段，但每個階段的售票量相等。

　　在實際售票過程中，等時間長度的劃分方式方便操作，每隔一段時間對票價和票額分配數量做相應調整即可，但存在的缺陷是，一旦實際購票量與估計值產生較大偏差時，無法對價格和席位進行準確控制。等售票量劃分是一種相對理想的劃分方式，每個階段的售票量固定，便于構造需求函數。理論上可以精確控制各預售階段的票價和票額分配數量，但在實際售票過程中存在一定操作困難。不同預售階段旅客對票價的敏感程度存在差異，采用價格彈性可以描述不同預售階段的旅客對票價敏感程度的差異性。一般而言，高鐵旅客出行需求的價格彈性隨著預售期的推移而減小，即在預售期內，越臨近發車日，旅客對票價越不敏感。

　　1.2列車聚類和分類定價策略

　　法國國營鐵路公司和英國國家鐵路公司等在進行高鐵票價差異化定價決策時，對于服務相同OD對的列車，并未采用“一車一價”的定價策略，而是對具有類似屬性的列車設置相同的價格，即“一類一價”。本文將服務相同OD對的列車按類別定價的方法定義為分類定價策略。列車分類定價策略不僅具有廣泛的運營實踐基礎，還可以減少優化問題中票價決策變量數量，從而有效降低計算規模。列車聚類問題，即如何將服務相同OD對的列車科學合理地劃分為若干類，使得分類方案適用于高鐵客票定價和票額分配綜合優化問題，是實現分類定價策略的基礎。

　　引入分類定價策略，則高鐵客票定價和票額分配綜合優化問題可以拓展為高鐵客票分類定價和票額分配綜合優化問題，具體表述為：對于給定的高鐵網絡，已知高鐵列車運行圖和旅客出行需求函數，在科學分類列車和合理劃分預售期的基礎上，考慮列車定員、票價上限和下限的嚴格約束，在分類定價策略下，求解服務各OD對的各類高鐵列車在不同預售階段的最優票價和相應的最優票額分配數量。

　　2基于購票曲線的列車聚類方法

　　引入分類定價策略，則高鐵客票定價和票額分配綜合優化問題可以拓展為高鐵客票分類定價和票額分配綜合優化問題，具體表述為：對于給定的高鐵網絡，已知高鐵列車運行圖和旅客出行需求函數，在科學分類列車和合理劃分預售期的基礎上，考慮列車定員、票價上限和下限的嚴格約束，在分類定價策略下，求解服務各OD對的各類高鐵列車在不同預售階段的最優票價和相應的最優票額分配數量。對服務同一OD對的列車進行聚類，獲得服務該OD對列車的分類方案，是高鐵客票分類定價的基礎。本節綜合考慮購票曲線和列車運行時間，在定義列車與列車之間的“距離”的基礎上，設計服務同一OD對列車的聚類方法。

　　3分類定價策略在票價票額綜合優化問題中的

　　應用利用第2節提出的列車聚類方法，將高鐵網絡中服務每個OD對的列車相應劃分為若干類，引入分類定價策略，對服務同一OD對的同類列車設置相同票價并優化票額分配。本節以文獻[8]提出的模型和算法為基礎，應用列車聚類方法，構建高鐵網絡客票分類定價和票額分配綜合優化模型并進行算法優化。與文獻[8]所提出的方法相比，應用列車聚類方法將列車票價變量合并，可以有效降低定價和票額分配綜合優化問題中票價變量的規模，減少計算時間。

　　4算例分析

　　首先以服務單個OD對的列車為研究對象進行列車聚類算例分析，對基于購票曲線的高鐵列車聚類方法的有效性進行驗證，探究相關參數取值對聚類結果的影響。在此基礎上，構造4列車服務3個OD對的小算例，對高鐵客票分類定價和票額分配綜合優化模型進行參數靈敏度分析，并與既有方法進行對比分析。最后通過大規模算例驗證本文所提出的分類定價策略在提高票價票額綜合優化問題求解能力方面的作用和意義。

　　4.1分類定價策略應用算例分析

　　以中國高鐵網絡中的一個十字形子網絡為背景，對分類定價策略在票價票額綜合優化問題中的應用進行算例分析。十字形網絡共36個高鐵車站，連接了包括武漢、廣州、長沙、南昌和貴陽在內的省會城市，所有區間均為雙線鐵路，最高運行時速為310km/h。列車運行圖數據來源于2016年12月1日的時刻表信息，

　　從對比結果可以看出，引入分類定價策略后，由于決策變量數的減少，單次迭代的計算時間顯著下降，盡管迭代次數增加，但總計算時間大大縮短。結果表明，針對大規模客票定價和票額分配綜合優化問題，分類定價策略能顯著縮短定價和票額分配綜合優化模型的求解時間。

　　5結束語

　　本文針對高鐵網絡中大規模列車客票定價和票額分配優化方法存在計算時間長的問題，以降低計算規模為目標，提出了分類定價策略。利用購票曲線并構建其相似性指標，綜合考慮列車運行時間，設計了服務同一OD對的高鐵列車聚類方法，在此基礎上構建了高鐵客票定價和票額分配綜合優化模型，并融合DFP算法和遞歸運算設計了高效求解算法。通過算例分析，驗證了本文所提出方法在求解大規模問題時的顯著優勢。然而，作為多階段定價和票額分配的基礎，預售期階段的劃分方式是值得進一步深入研究的問題。

　　參考文獻：

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　　[3]宋文波，趙鵬，李博.高速鐵路單列車動態定價與票額分配綜合優化研究[J].鐵道學報，2018，40(7)：1016.SONGWenbo，ZHAOPeng，LIBo.ResearchonComprehensiveOptimizationofDynamicPricingandSeatAllocationforHighSpeedSingleTrain[J].JournaloftheChinaRailwaySociety，2018，40(7)：1016.

　　[4]趙翔，趙鵬，姚向明，等.高速列車折扣票價與票額分配組合優化模型[J].東南大學學報(自然科學版)，2018，48(4)：759765.

　　作者：胡心磊，史峰，秦進