數(shù)學是大部分學科的基礎(chǔ)，在數(shù)學的發(fā)展過程中，哲學思想在啟蒙時期有非常重要的意義。早期發(fā)展中的柏拉圖哲學思想，后期發(fā)展中的哥德爾哲學思想，給數(shù)學帶來了革命性的變化;維特根斯坦哲學在后來數(shù)學衍生的計算機技術(shù)上起到奠基作用。下面文章對柏拉圖、哥德爾和維特根斯坦的哲學思想進行簡要介紹，并闡述其對數(shù)學發(fā)展的影響。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學哲學,柏拉圖,哥德爾,維特根斯坦

　　一、前言

　　數(shù)學是大部分學科的基礎(chǔ)，是一種思想的衍生，在很多學科中都有非常具體的體現(xiàn)。在數(shù)學的發(fā)展史中，哲學思想有很重要的價值，例如柏拉圖學派。早期柏拉圖在數(shù)學方面提出“理念論”與數(shù)學的抽象性，這種抽象性是純粹的數(shù)學概念，如“對角線”的概念。與此同時，柏拉圖也進行了抽象化的研究，如對正方形的研究，這種抽象的研究奠定了柏拉圖學派在數(shù)學領(lǐng)域的光輝成就。柏拉圖也提出了認識論，推動了數(shù)學公理化的發(fā)展。

　　他在認識論上排斥了感覺，雖然并不認可感覺的真實性，但這種認為感覺不可靠的認識，對于數(shù)學公理化的發(fā)展起到極為重要的作用。同時，柏拉圖自身所處的社會大環(huán)境(貴族環(huán)境)導致其哲學觀對數(shù)學發(fā)展起到了一定的束縛作用。柏拉圖思想的高度唯心化，使他提出“數(shù)學與應(yīng)用應(yīng)該分離，數(shù)學是為了訓練心靈”這種過于高尚的語論，導致后來希臘數(shù)學發(fā)展的不平衡(代數(shù)學和幾何發(fā)展的差距)。這種過分的藝術(shù)話，最終種下了死亡的種子。

　　柏拉圖之后，柏拉圖學派一分為三。最強的柏拉圖主義以哥德爾為首，強調(diào)傳統(tǒng)立場，對悖論的出現(xiàn)不以為然;最弱柏拉圖主義，在悖論上做出妥協(xié)，后來羅素、維特根斯坦等人也持同

　　樣的思想;折中的溫和(狹義)柏拉圖主義以貝爾內(nèi)斯為代表，放棄了抽象立場，主張對象的理想概念。本文將從柏拉圖、哥德爾、維特根斯坦三人的哲學思想來闡述數(shù)學發(fā)展史中的哲學思想。

　　二、主要哲學思想介紹

　　1.柏拉圖的哲學思想

　　柏拉圖在哲學上強調(diào)理念論，強調(diào)人們的形式和觀念形成一個客觀的世界，又被稱為“理念世界”。這種理念是永恒不變的，是一些事物的“范型”。柏拉圖認為世界的一切都是由人們看到的事物產(chǎn)生一種認識，當看到的更多時則會刷新這種認識或者形成一種更全面的認識。這種哲學思想被柏拉圖運用在早期數(shù)學研究上，使他開始思考數(shù)學感覺。感覺也是一種看到的認識，這種認識在數(shù)學上會因為看到得更多而被刷新，進而出現(xiàn)認識的錯誤，所以柏拉圖在數(shù)學上排斥感覺，認識數(shù)學概念不依賴于經(jīng)驗。

　　從他在《國家篇》中的言論“他們所研究的并不是他們畫的特殊圖形特殊對角線，而是其本身”中可以看出，柏拉圖的思想排斥感覺，他認為所畫的特殊圖形就是一種感覺，而感覺是不可靠的，科學研究應(yīng)研究事物的本身，而不是我們看到的特殊圖形。因而在數(shù)學上，柏拉圖提出抽象化的觀點，與數(shù)學的本身高度抽象性一致。數(shù)學的研究也是抽象的研究，反映了現(xiàn)實社會數(shù)量關(guān)系和空間形式。在數(shù)學抽象性上，柏拉圖的抽象化觀點很好地與數(shù)學相吻合，從而對當時數(shù)學的發(fā)展起到推進作用。對于感覺的思考，柏拉圖形成了他的認識論。

　　正如前文所說，特殊圖形在柏拉圖眼里都是一個特殊的事物，考慮到認識可能會被刷新，所以他不認為這個是真實知識的源泉，認為真實的知識是人們對理念的一種回憶，排除了特殊性。這種對感覺的否定或者說是對感覺的不認可，在任何時期都有非常重要的意義。柏拉圖主張數(shù)學就是提出一些假定前提，如平行和對稱，從嚴格的邏輯推理中得到預(yù)期的結(jié)論。這種主張與日后數(shù)學公理化的主張類似，公理是少量的基本概念公理，應(yīng)用嚴格的邏輯推理，形成演繹的系統(tǒng)。很明顯，柏拉圖的主張與數(shù)學公理化吻合，柏拉圖哲學思想是數(shù)學公理化的一個開端，奠定了基礎(chǔ)。

　　2.哥德爾的哲學思想

　　哥德爾的哲學思想是數(shù)學柏拉圖主義的一個分支，因為集合論悖論的出現(xiàn)，數(shù)學柏拉圖主義出現(xiàn)分歧。哥德爾認為存在一個所有數(shù)學的對象關(guān)系的理想對象世界，他為柏拉圖主義辯護：“既然有客觀性，那就一定有(數(shù)學)對象存在。”他將數(shù)學里的這層關(guān)系上升到了直覺論。

　　他的數(shù)學實體是柏拉圖式的純粹，不在物理上也不在心靈上，是一種抽象實體。哥德爾哲學對數(shù)學的主要研究方向為抽象實體，他對實體有三個非常重要的論證。第一，證明了數(shù)學不是一種約定，批評了之前數(shù)學約定論的不合理性;第二，批評了算法主義，同時解釋了哥德爾定理和

　　判定機器能否思維這一問題;第三，論證他的直覺論，說明數(shù)學直覺的不可消除性。哥德爾的直覺論對他十分重要，在他之后探究的所有領(lǐng)域中都有對直覺論的應(yīng)用。哥德爾喜歡運用數(shù)學直覺來論證獨特性。

　　哥德爾在直覺論中曾說過：“對于那些公理，不存在合理的基礎(chǔ)，除了要么它們可以直接被知覺到是真的，要么它們以歸納論證為基礎(chǔ)被假設(shè)，比如在他們使用過程中的成功為基礎(chǔ)。”這是一種形而上學的思想，在直覺上他認為，真理是概念構(gòu)成了自身的一個客觀事實，不可能創(chuàng)造和改變，只能用知覺來描述。哥德爾的哲學在抽象上進入了數(shù)學哲學，所以他會被當時胡賽爾建立的現(xiàn)象學吸引。

　　哥德爾希望證明某些數(shù)學直覺的存在可以與柏拉圖實體結(jié)合，能夠證明柏拉圖實體的存在，如：說明數(shù)學直覺確實存在，說明這些直覺是不可消滅的，證明其獨立性，證明這種直覺與

　　其他直覺的不同。在數(shù)學上看，哥德爾強調(diào)直覺在數(shù)學上的重要性，來捍衛(wèi)他的柏拉圖主義。

　　3.維特根斯坦的哲學思想

　　維特根斯坦是一個矛盾主義家，他的哲學思想分為兩個部分：第一，在數(shù)學柏拉圖主義上提出符號化。對于悖論這個問題，維特根斯坦認為悖論也是數(shù)學，沒必要絕對清除悖論，認可這種矛盾是維特根斯坦的哲學思想，就像他自己說的，矛盾不是絕對的錯誤。第二，他也一定程度上反對柏拉圖主義。維特根斯坦主張在數(shù)學中人的主觀能動性，他不像柏拉圖一樣把數(shù)學過于高尚化(柏拉圖認為數(shù)學與邏輯是獨立的)，而是認為數(shù)學是人思考后的產(chǎn)物，是直覺對人思考影響后的構(gòu)造。之后他將形而上學轉(zhuǎn)向語言化，又認可直覺的作用。第三，支持潛無窮的觀點，摒棄實無窮的思想。這源于他的直覺主義，使之反對實無窮。他提出的符號邏輯在后來成了現(xiàn)代計算機的基礎(chǔ)。

　　4.數(shù)學哲學思想在數(shù)學發(fā)展中的影響

　　在柏拉圖的哲學思想里，抽象化的思想對數(shù)學公理化起到了奠定作用。數(shù)學柏拉圖主義對數(shù)學邏輯做出了五個方面的貢獻：第一，建立了完備、一致的經(jīng)典演繹;第二，構(gòu)建了集合論;第三，提出了無窮集合觀;第四，集合論的悖論得到初步解決;第五，參與了證明論、遞歸論與模型論的創(chuàng)建工作。然而，柏拉圖自己身處的社會環(huán)境使得他的一些思想對后來數(shù)學的發(fā)展有抵制作用。柏拉圖出生在貴族奴隸主的家庭，其哲學思想目的是為了他所在的階級服務(wù)，所以他會編造神學，把人分割成各種階級。當時的社會環(huán)境統(tǒng)治者對工商業(yè)不屑一顧，柏拉圖也不例外。

　　他反對數(shù)學與應(yīng)用相結(jié)合，看重于理論世界，認為數(shù)學不是用來指導人們改造自己的世界、提升生活品質(zhì)，而是用來給自己凈化靈魂。這使得希臘數(shù)學在代數(shù)學和幾何上出現(xiàn)嚴重的不對稱，后來幾何學已經(jīng)發(fā)展成系統(tǒng)性科學，而代數(shù)學還在直覺、經(jīng)驗階段。數(shù)學柏拉圖主義的高度藝術(shù)化，或者說為了藝術(shù)而藝術(shù)的思想，給數(shù)學柏拉圖主義留下了禍根。

　　維特根斯坦推動了第二次語言學的轉(zhuǎn)向，其形式邏輯、符合邏輯、邏輯哲學對日后有很大的作用。如今的現(xiàn)代計算機基礎(chǔ)就是維特根斯坦的符號邏輯，其日常語言哲學對后世影響很大。維特根斯坦的早年思想和后來的思想差距懸殊(早期邏輯主義，后期日常用語哲學)，但是有一個主張沒有變，就是認識不可能超過經(jīng)驗。在維特根斯坦看來，悖論是從語言混亂而來，數(shù)學里也有矛盾。

　　四、小結(jié)

　　柏拉圖和哥德爾的哲學思想在日后數(shù)學發(fā)展上有著非常重要的作用，維特根斯坦的日常語言哲學在后來計算機技術(shù)上也有舉足輕重的作用。哲學是數(shù)學的起初，人們發(fā)展科學無非是認識世界。就像高斯所說的“數(shù)學是上帝的語言”一樣，哲學是人類第一個去認識世界的學科，數(shù)學與哲學之間必然有相連性。數(shù)學是探究數(shù)、形、體的科學，從數(shù)學柏拉圖主義中可以看出，柏拉圖哲學在數(shù)學基礎(chǔ)研究中有著重要意義，推動了數(shù)學的發(fā)展。

　　但是他反對理論與實際，對數(shù)學在應(yīng)用中的發(fā)現(xiàn)動力進行了堵塞，這是柏拉圖主義的教訓。哥德爾的數(shù)學直覺論給后來數(shù)學的發(fā)展帶來了革命性的變化，哥德爾不完全性理論有跨時代的意義，也使得哥德爾成為一位里程碑式的數(shù)學家與邏輯學家。維特根斯坦的日常用語哲學對于數(shù)學后來衍生的計算機科學起到了奠基作用，其意義不用言說。從數(shù)學史可以看出，哲學對數(shù)學有著非常重大的影響，數(shù)學的發(fā)展與哲學的發(fā)展相輔相成，互相促進，通過對哲學的研究與學習，能夠加深對數(shù)學學科的理解與思考。

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