在各種人類文化活動(dòng)和文化符號生成過程中，時(shí)常蘊(yùn)涵著各種數(shù)學(xué)原理。從人類文明史進(jìn)程來看，各個(gè)時(shí)代的總體文化特征與同時(shí)代科技活動(dòng)存在某種必然關(guān)聯(lián)，這符合藝術(shù)發(fā)展的規(guī)律。文化符號生成過程中蘊(yùn)涵著新思想、新技術(shù)以及對時(shí)代先進(jìn)生產(chǎn)力的吸收與利用等特征,常見于人類的文化與藝術(shù)之史。這符合文明發(fā)展的規(guī)律。近年來,有關(guān)中西方藝術(shù)與科技相融合的歷史，以及傳統(tǒng)文化現(xiàn)代價(jià)值的各類研究越來越受到人們的關(guān)注，值得人們系統(tǒng)的、多元化的思考。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué),文化符號,數(shù)學(xué)觀

　　一、數(shù)學(xué)的生命力植根于社會(huì)生活

　　如果與人類的文明史相比較,顯然，數(shù)學(xué)形成和發(fā)展的歷程就略顯簡短。事實(shí)上,數(shù)學(xué)一直與人類的文化與科技生產(chǎn)力有必然的關(guān)聯(lián),數(shù)學(xué)是人類文化的組成部分。數(shù)學(xué)家柯朗(RichardCourant)曾這樣定義數(shù)學(xué)：“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式……以及對完美境界的追求。”[1]從大量的文化考古及研究中發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)具有博大精深的內(nèi)涵。在人類古文明中，大量的數(shù)學(xué)、天文、地理等知識被運(yùn)用于金字塔和各種神殿等建造中。其實(shí)，在古代中國，古人很早就懂得應(yīng)用數(shù)學(xué)分析和研究客觀世界。在天文學(xué)領(lǐng)域中，中國人發(fā)明了“歷算”，其理論基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)。象征著古埃及文明的著名建筑金字塔共有100余座，大量的數(shù)學(xué)、天文、地理、生理等知識被運(yùn)用于金字塔及神殿的建造。

　　古代埃及人在勞動(dòng)與生活實(shí)踐過程中應(yīng)用了大量的數(shù)學(xué)知識。從某種意義上說，幾何學(xué)的形成是“尼羅河水泛濫所帶來的恩賜”。古埃及人制定了“歷法”，其理論基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)。與此同時(shí)，眾多的實(shí)際需要和興趣激發(fā)了數(shù)學(xué)活動(dòng)的靈感,又進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。在瑪雅文明中，存在著大量的歷史遺跡,如金字塔、神殿、天文臺以及石碑等。這些被展示的文化符號，在體現(xiàn)其某種文化特征、象征意義等內(nèi)容的同時(shí)，蘊(yùn)涵著某種數(shù)學(xué)觀或數(shù)學(xué)“法則”。

　　眾所周知，人類歷史上首先發(fā)明“零”概念的就是瑪雅人，因此，古瑪雅人在數(shù)學(xué)等方面的成就令人驚訝，對往后的計(jì)算科學(xué)和計(jì)算機(jī)的發(fā)明具有促進(jìn)和推動(dòng)意義。由于瑪雅文明被人們所認(rèn)識的時(shí)間不長，大約是在上世紀(jì)四十年代，因此，常被稱為失落的瑪雅文明。

　　人們都熟知埃及有金字塔，卻很少有人知道古代瑪雅金字塔的數(shù)量比埃及還多。而且，瑪雅金字塔與埃及金字塔的結(jié)構(gòu)、功能和意義完全不同。前者為實(shí)心，塔頂供教士們居住或觀察天象之用，塔前廣場是祭典場所;而后者是空心，內(nèi)部為帝王陵寢。據(jù)考證，瑪雅文明的金字塔的每一塊石塊都與歷法、數(shù)學(xué)、天文有關(guān)。由此可見，大量的數(shù)學(xué)、天文、地理等知識被運(yùn)用于瑪雅金字塔的建造之中。古希臘時(shí)期，柏拉圖等人試圖將數(shù)學(xué)、幾何學(xué)與人的審美經(jīng)驗(yàn)相互聯(lián)系在一起。畢達(dá)哥拉斯則認(rèn)為“萬物皆由數(shù)來安排”。

　　難以置信，這些數(shù)學(xué)的法則和比例，在古希臘會(huì)產(chǎn)生如此廣泛的影響。在文藝復(fù)興時(shí)期，這種所謂“數(shù)學(xué)法則”仍舊被普遍應(yīng)用于各類藝術(shù)創(chuàng)造過程中，對數(shù)學(xué)家、畫家、建筑師乃至音樂家仍具有普遍的吸引力。藝術(shù)上的理性主義觀念進(jìn)一步表現(xiàn)為對各種寫實(shí)技法的研究與運(yùn)用。在繪畫中,利用人體解剖學(xué)、光影法、透視學(xué)等科學(xué)原理及寫實(shí)技法使作品更能表現(xiàn)客觀的真實(shí)感。與中世紀(jì)繪畫相比較,文藝復(fù)興時(shí)期的作品在二維平面中引入了第三維的概念，即在繪畫過程中處理了空間、距離、體積、質(zhì)量和視覺印象等。而具有三維空間感的畫面效果只有通過射影幾何學(xué)和透視學(xué)等原理及寫實(shí)技法才能得到，其原理的核心是數(shù)學(xué)。

　　綜觀人類文明的發(fā)展史，文化符號在生成過程中時(shí)常能找到大量“數(shù)學(xué)法則”被普遍應(yīng)用于各類藝術(shù)實(shí)踐活動(dòng)，豐富的例證常見于歷代文化與藝術(shù)之中。對稱，在數(shù)學(xué)上，指的是研究對象在某種變換或操作下始終保持不變的性質(zhì)，因而，在科學(xué)上具有根本性意義。在人類的文化中，對稱與平衡、和諧、秩序、形式美感等概念聯(lián)系在一起。尤其在中國文化中，對稱蘊(yùn)涵著不偏不倚的中庸之道，事實(shí)上，中和之道幾千年來內(nèi)化成了中華民族特有的意識與內(nèi)在性格，一直延續(xù)至今。對稱具有數(shù)學(xué)與文化雙重的含義，遠(yuǎn)在人類文明之前，自然界中的植物與花卉大都具有對稱特征，以人類為代表的脊椎動(dòng)物都具有左右對稱特征。人類在最早期的改造自然過程中，已從自然界中發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用這一數(shù)學(xué)靈感，大量的歷史與文化遺跡可以證明這一觀點(diǎn)。同時(shí)，事實(shí)證明，數(shù)學(xué)的生命力根植于社會(huì)生活。

　　二、數(shù)學(xué)對稱理論

　　如前所說，對稱在科學(xué)上具有根本性意義。在對象上的任何一種對稱變換或?qū)ΨQ操作,只影響對象幾何學(xué)性質(zhì)照片，洞穴中的地磚、墻飾等都能發(fā)現(xiàn)人類對平衡、形狀、空間、形式等概念的思考上變化，反演操作，使一切重新回到原點(diǎn)。H.J.Woods,在19世紀(jì)30年表的四篇研究論文“圖案設(shè)計(jì)的幾何基礎(chǔ)”(TheGeometricalBasisofPatternDesign)[2]，以及OwenJones的著作《裝飾原理》(TheGrammarofOrnament)，被公認(rèn)是對稱與圖案設(shè)計(jì)領(lǐng)域十分有影響的研究。

　　E.H.Gombrich有著作《秩序感》(“TheSenseofOrder”-Astudyofthepsychologyofdecorativeart)。他的相關(guān)研究，被認(rèn)為拓展了對稱研究的視野，他從符號、文化與數(shù)學(xué)的綜合視角研究藝術(shù)，具有重要的影響力。平面對稱，是以四種對稱變換或?qū)ΨQ操作在平面中的應(yīng)用為特征。即，平移(Translation)、旋轉(zhuǎn)(Rotation)、反射(Reflection)，滑移反射(Glide-reflection)。數(shù)學(xué)家Coxeter[3],Jeger[4],Guggenheimer[5],Yale[6],Schattschneider[7]的研究在數(shù)學(xué)、晶體學(xué)領(lǐng)域具有重要的影響力。荷蘭藝術(shù)家M.C.埃舍爾(M.C.Escher)是將“數(shù)學(xué)法則”普遍應(yīng)用于圖形創(chuàng)意的典范，他的圖形創(chuàng)意，不僅創(chuàng)造了生動(dòng)的藝術(shù)形象，而且融合了數(shù)學(xué)對稱思維的靈感。

　　1.對稱原理與術(shù)語解釋對稱，數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的定義，如前所說，四種對稱變換或?qū)ΨQ操作，可以單獨(dú)或組合作用于對象，呈現(xiàn)相應(yīng)不同的對稱特征，并根據(jù)相應(yīng)的對稱操作在對象中的組合情形進(jìn)行科學(xué)系統(tǒng)的分類。在平面中，平移是構(gòu)成二維圖案的最基本特征，但是，平移是在兩個(gè)不同的互不平行的方向上進(jìn)行的。如果平移只朝某單一方向，只能構(gòu)成帶狀圖案。詳細(xì)的對稱變換示意(鏡像反射軸由符號m標(biāo)示，滑移反射軸由符號g標(biāo)示)參見圖7。

　　2.對稱與相關(guān)符號的進(jìn)一步的解析對稱的相關(guān)同義術(shù)語有全等變換(congruencetransformation)、等距同構(gòu)(isometries)等。

　　在二維平面中，平移是構(gòu)成二維圖案的最基本特征，但是，平移是在兩個(gè)不同的互不平行的方向上進(jìn)行的。如上所述，在平面中，四種對稱變換可以單獨(dú)或組合應(yīng)用于圖形結(jié)構(gòu)之中，并構(gòu)成相應(yīng)的對稱和分類特征。示意了一個(gè)由等邊三角形所構(gòu)成的平面，如圖所示，可以借助連續(xù)反射等邊三角形構(gòu)成平面、圍繞等邊三角形的頂點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)60º構(gòu)成平面。在平面中，平移是構(gòu)成二維圖案的最基本特征，如果在最基本單元中任選一個(gè)點(diǎn)，通過在兩個(gè)分別不同的互不平行的方向上進(jìn)行平移，就能形成等距規(guī)律性的重復(fù)點(diǎn)陣。在平面點(diǎn)陣中，根據(jù)連接點(diǎn)陣方式的不同，允許形成各種不同的基本平移單位。

　　在平面中，平移是構(gòu)成圖案的最基本特征，共有5類不同的點(diǎn)陣，在對稱原理允許范圍內(nèi)構(gòu)成的基本結(jié)構(gòu)框架(基本平移單位)，分別是：平行四邊形、菱形、長方形、正方形和六邊形。這種局限被稱為“結(jié)晶學(xué)限制”。相關(guān)17種不同對稱特征的圖案結(jié)構(gòu)。Martin[8]和Schwarzenberger[9]提供了相關(guān)的理論依據(jù)，不同的對稱特征由相關(guān)通用的國際晶體學(xué)通用符號標(biāo)示(括號內(nèi)為簡化的符號標(biāo)示)。詳解參閱本文所列參考書目。

　　三、對稱在傳統(tǒng)建筑文化符號中的具體應(yīng)用

　　在人類的文化、藝術(shù)、建筑等各種活動(dòng)中時(shí)常發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)的淵源，如前所說，在人類文化中，對稱時(shí)常與平衡、和諧、秩序、形式美感等概念聯(lián)系在一起。對稱蘊(yùn)涵著不偏不倚的中庸之道，事實(shí)上，幾千年來內(nèi)化成了中華民族特有的意識與內(nèi)在性格。因此，傳統(tǒng)建筑，作為被展示的文化符號，其建筑的風(fēng)格、形式結(jié)構(gòu)、美學(xué)追求等因素受到影響是必然的。

　　1.對稱在傳統(tǒng)建筑文化符號中的表現(xiàn)在中西方傳統(tǒng)建筑的建造中，人們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，這些作為被展示的文化符號，在體現(xiàn)某種文化特征、象征意義等內(nèi)容的同時(shí)，其背后時(shí)常蘊(yùn)涵著某種數(shù)學(xué)元素或數(shù)學(xué)“法則”。從本質(zhì)上看，文化和藝術(shù)之間的差異，追根尋源，主要是由于各自文化的哲學(xué)思想不同所導(dǎo)致的。大量的歷史與文化遺跡證明了這一觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，以及對完美境界的追求，對人類的哲學(xué)思想的形成具有影響作用，同時(shí)也構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命力。

　　中國傳統(tǒng)建筑布局、城市規(guī)劃等都十分講究對稱，因?yàn)閷ΨQ所呈現(xiàn)出的特性以及視覺上的中庸、秩序、和諧、莊嚴(yán)等特征與文化意義上的對稱含義是相一致的。孔子曰：“不偏為中，不變?yōu)橛埂?rdquo;這種中庸思想對中國人行為觀念、文化活動(dòng)、建筑布局、城市規(guī)劃，甚至人倫秩序等必然會(huì)產(chǎn)生影響。就我們首都北京的城市布局而言，不論城市如何拓展與變化，始終沿著城市中軸線進(jìn)行規(guī)劃和設(shè)計(jì)。城市規(guī)劃布局中的對稱觀念,自中國古代一直延續(xù)至今，塔結(jié)構(gòu)是基于中心及軸反射對稱原理而構(gòu)筑(資料來源于《世界文明奇跡》，王偉芳、余開亮編)。

　　在跨文化的藝術(shù)研究中，人們不難發(fā)現(xiàn)，由于人類生活在不同的區(qū)域和民族文化族群之中的緣故，往往會(huì)存在文化和哲學(xué)觀上的差異，進(jìn)而導(dǎo)致人的認(rèn)知、審美傾向偏好等諸方面的不同。對稱雖然是人類在生活與實(shí)踐過程中共同發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)靈感，然而，在現(xiàn)實(shí)生活、各類文化活動(dòng)中的應(yīng)用和藝術(shù)效應(yīng)仍會(huì)存在十分明顯的區(qū)別。這種差異主要體現(xiàn)在文化符號的形式特征、審美特征等各層面。

　　例如，古代羅馬人和生活在地中海沿岸的居民，他們與其他民族人群之間，有時(shí)盡管會(huì)應(yīng)用相同的“數(shù)學(xué)法則”創(chuàng)造各自的文化符號，但是，符號的形式、審美特征方面肯定會(huì)有很明顯的區(qū)別。古羅馬人的裝飾風(fēng)格與其他民族的裝飾風(fēng)格就存在十分明顯的差異古羅馬時(shí)期的裝飾風(fēng)格同樣也十分講究對稱，大量的建筑墻面、地面、墻壁、柱子以及天頂上的彩繪裝飾等，都體現(xiàn)著古羅馬時(shí)期的藝術(shù)風(fēng)格。其圖案裝飾風(fēng)格很特別，通常以人類、動(dòng)植物以及自然景象的鑲嵌圖案(馬賽克)作為裝飾。

　　這種追求和諧、秩序、對稱的審美觀，也同樣早已內(nèi)化成了古羅馬人的民族意識與內(nèi)在性格，是古羅馬文化與美學(xué)的精髓。早期的摩爾人(阿拉伯人)的裝飾風(fēng)格和審美觀十分獨(dú)特。大量能被展示的文化符號在生成過程中時(shí)常能找到“數(shù)學(xué)對稱法則”被普遍應(yīng)用于那些藝術(shù)實(shí)踐活動(dòng)，豐富的例證常見于歷代文化與藝術(shù)之中。圖案裝飾風(fēng)格給人留下深刻的印象。是西班牙摩爾人(moor)諸王的豪華宮殿(AlhambraPalace)格蘭納達(dá)薄呢，穆斯林和伊斯蘭教的裝飾風(fēng)格和對稱圖案給人們留下了深刻印象(資料來源于Symmetry,byHermannWeyl)。圖20是中國傳統(tǒng)的窗花裝飾設(shè)計(jì)，圖形的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)對稱。

　　2.對稱在傳統(tǒng)建筑文化符號及相關(guān)裝飾品中的表現(xiàn)對稱在傳統(tǒng)建筑文化符號及相關(guān)裝飾品中的范例十分豐富，這些圖案裝飾大都出現(xiàn)在手工藝品、織物、編織工藝品、器具、陶藝等上。這些來自不同區(qū)域、民族和文化的原始手工藝品，具有不同的裝飾風(fēng)格，但都是基于對稱原理而構(gòu)成的。在藝術(shù)考古中，人們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，在不同的區(qū)域和民族文化遺產(chǎn)中，存在著十分類似的裝飾及圖案結(jié)構(gòu)，這并不是意外和巧合，這是人類的創(chuàng)造和文化活動(dòng)所基于相同的數(shù)學(xué)靈感啟示的緣故。但是，由于民族、文化、區(qū)域的差異，同樣會(huì)產(chǎn)生許多豐富有趣而不同的表現(xiàn)。

　　四、結(jié)語

　　本文經(jīng)過對中西方傳統(tǒng)的被展示的建筑文化符號的研究，清晰地意識到，由于人類在文化和哲學(xué)思想上存在著差異性，因此,導(dǎo)致人的認(rèn)知、審美、民族意識以及人的內(nèi)在性格等完全不同。同時(shí)，這種差異性也必然會(huì)影響到人類的各種文化活動(dòng)，甚至即便在同類文化活動(dòng)中，遵循相同的“數(shù)學(xué)法則”開展藝術(shù)實(shí)踐活動(dòng)，實(shí)踐的結(jié)果之間(作品風(fēng)格之間)同樣會(huì)存在十分明顯的差異。研究文化符號中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)觀，意義十分明確，希望人們能清晰地意識到，人類文明發(fā)展進(jìn)程中數(shù)學(xué)與文化的關(guān)系，以及數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的積極作用。事實(shí)證明，對稱具有數(shù)學(xué)與文化的雙重的含義，數(shù)學(xué)是文化的一部分。

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